Exercícios Resolvidos de Teorema da Probabilidade Total

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Enunciado

Um modelo de motor é fabricado por 3 fábricas: A, B e C. Sabe-se que A produz o dobro de motores que B e que B e C produzem o mesmo número de motores. Sabe-se ainda que 2% das dos motores produzidos por A e por B são defeituosos, enquanto que 4% dos produzidos por C são defeituosos. Todos os motores produzidos são misturados e colocados em um depósito. Se do depósito for retirada um motor ao acaso, qual a probabilidade de que ele seja defeituoso?

Passo 1

Vamos começar nomeando alguns eventos para nos organizarmos melhor:

D → m o t o r   s e r   d e f e i t u o s o

A → m o t o r   v i r   d a   e m p r e s a   A

B → m o t o r   v i r   d a   e m p r e s a   B

C → m o t o r   v i r   d a   e m p r e s a   C

É falado que A produz o dobro de motores que B produz, e B por outro lado produz o mesmo número de motores que C. Então podemos afirmar que A também possui o dobro de C. Então proporcionalmente podemos dizer:

P A = 0,5

P B = P C = 0,25

Também é dado pra gente as probabilidades de defeito para cada empresa, que nada mais são que probabilidades condicionais, certo? Afinal, estão dando uma probabilidade de defeito “dado que o motor veio de tal empresa...”. Elas são:

P D A = P D B = 0,02

P D C = 0,04

Passo 2

Ok! Mas a questão quer saber a probabilidade da amostra sorteada ser defeituosa. Pelo teorema da probabilidade total calculamos essa probabilidade fazendo:

P D = P A . P D A + P B . P D B + P C . P ( D | C )

Aqui também podemos lembrar dos significados da multiplicação e da adição de probabilidades! Quando multiplicamos estamos falando de um evento E outro acontecerem, e quando somamos estamos falando de um evento OU outro acontecerem. E para ter a probabilidade do motor ser defeituoso é isso aí que escrevemos né?

“A probabilidade do motor vir de A E ser defeituoso (sabendo que veio de A), OU a probabilidade do motor vir de B E ser defeituoso (sabendo que veio de B), OU a probabilidade de vir de C E ser defeituoso (sabendo que veio de C).”

Dessa forma estamos incluindo todas as possíveis origens de um motor defeituoso!

Agora voltando a nossa equação, vamos substuitir com os valores achados no Passo 1:

P D = P A . P D A + P B . P D B + P C . P ( D | C )

P D = 0,5 × 0,02 + 0,25 × 0,02 + 0,25 × 0,04 = 0,025 = 2,5 %

Resposta

2,5 %

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