Exercícios Resolvidos de Teorema da Probabilidade Total

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Enunciado

O receptor de um determinado equipamento de uma rede de telecomunicações recebe mensagens de instruções através de um dentro três possíveis transmissores diferentes. Estatísticas da rede mostram que 50% das mensagens recebidas são enviadas pelo transmissor 1, 40% pelo transmissor 2 e 10% pelo transmissor 3. Para fins de garantia de integridade das informações, o protocolo de comunicação exige que o receptor confirme o recebimento repetindo ao seu transmissor a mensagem recebida. Entretanto, a chance dos transmissores enviarem mensagens contendo erros nos bits que os identificam é de 1%, 3% e 6%, respectivamente. Com base nessas estatísticas, calcule:

  1. A probabilidade de chegar uma mensagem no receptor com erro na identificação do remetente e, portanto, o receptor não ter certeza sobre qual transmissor ele deve responder.
  2. Para cada um dos três transmissores, a probabilidade deste ter sido o remetente de uma mensagem que chegou no receptor com erro na identificação.

Passo 1

a)

Pelo teorema da probabilidade total, temos:

P B = ∑ i = 1 n P B A i . P ( A i )

Chamando a recepção da mensagem pelo transmissor de T i , com i = 1,2 , 3 pois temos três transmissores, vamos ter:

P e r r o = P e r r o T 1 . P ( T 1 ) + P e r r o T 2 . P ( T 2 ) + P e r r o T 3 . P ( T 3 )

Substituindo tudo isso aí com os valores do enunciado:

P e r r o = 0,01 × 0,50 + 0,03 × 0,40 + 0,06 × 0,10 = 0,023 = 2,3 %

Passo 2

b)

Agora o quer queremos é:

P ( T i | e r r o )

Começando com T 1 . Vamos usar a fórmula da probabilidade condicional manuseada:

P T 1 e r r o = P e r r o T 1 P ( T 1 ) P ( e r r o ) = ( 0,01 ) ( 0,50 ) ( 0,023 ) = 0,217 = 21,7 %

Agora T 2 , seguindo o mesmo raciocínio:

P T 2 e r r o = P e r r o T 2 P ( T 2 ) P ( e r r o ) = ( 0,03 ) ( 0,40 ) ( 0,023 ) = 0,522 = 52,2 %

E finalmente T 3 :

P T 3 e r r o = P e r r o T 3 P ( T 3 ) P ( e r r o ) = ( 0,06 ) ( 0,1 0 ) ( 0,023 ) = 0,261 = 26,1 %

Resposta

a)

2,3 %

b)

21,7 %

52,2 %

26,1 %

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