Exercícios Resolvidos de Teorema da Probabilidade Total

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Enunciado

A temperatura de uma dada reação química é uma variável aleatória, cuja função densidade de probabilidade assume a forma

f x = a b - x 2 ,     - 1 ≤ x ≤ 2 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o  

sendo a e b constantes reais. Depois de realizar vários experimentos, constatou-se que P ( X   >   0 )   =   16 / 27 . Neste caso, os valores de a e b são respectivamente iguais a

  1. 9   e   1 / 4 ;
  2. 2   e   1 / 2 ;
  3. 3   e   1 / 6 ;
  4. 1 / 6   e   3 ;
  5. 1 / 9   e   4 .

Passo 1

Eaeeeee, beleza??

Falaeee meu patrão/minha patroa!! Se liga aqui que essa é mais simples do que parece hehe:

A gente sabe que a função densidade de probabilidade (fdp) é dada da seguinte forma para variáveis contínuas:

∫ - ∞ ∞ f x = 1

Essa formulazinha aí é para a área da curva compleeeta. No nosso caso, temos apenas um intervalo:

E lembrando que a questão nos disse que:

f x = a b - x 2 ,     - 1 ≤ x ≤ 2

Em que para P ( X   >   0 ) , a probabilidade é de 16 / 27 . Ou seeeja, isso ocorre no intervalo de 0 ≤ x ≤ 2 .

Mas e no intervalo de - 1 ≤ x ≤ 0 ????? Aí é 100% meeenos a probabilidade que a gente tem!!! Haha!!

Passo 2

Assim, a gente tem:

∫ 0 2 a b - x 2 d x = 16 27

Resolvendo essa integral, temos:

a b x - a x 3 3 2 0 = 16 27 ∴

2 a b - 8 a 3 = 16 27

E, no outro intervalo, temos a seguinte integral:

∫ - 1 0 a b - x 2 d x = 1 - 16 27

Resolvendo, temos:

a b x - a x 3 3 0 - 1 = 11 27 ∴

a b - a 3 = 11 27

Percebeu que temos duas variáveis e duas equações??? Agora é só colocar em um sisteminha de equações haha!!!

Passo 3

Assim, temos que:

2 a b - 8 a 3 = 16 27 a b - a 3 = 11 27

Multiplicando a segunda equação por - 2 e somando com a primeira equação, temos:

- 6 a 3 = - 6 27 ∴ a = 1 9

E b é dado por:

b 9 - 1 27 = 11 27 ∴ b = 4

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

a = 1 9

b = 4

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