Exercícios Resolvidos de Teorema da Probabilidade Total

UFRJ, ProbEst, P1/2014.1, 1

Três pesquisadores pensam, de forma independente, na solução de um problema. Pela experiência e conhecimento de cada pesquisador sabe-se que as probabilidades de encontrar a solução são de 1 4     para A, de 1 5     para B e de 1 3     para C . Calcule a probabilidade:

  1. de que o problema seja resolvido;
  2. de pelo menos dois dos três pesquisadores resolverem o problema;
  3. condicional de B resolver o problema dado que este foi resolvido por pelo menos dois pesquisadores.

Passo 1

Inicialmente, vamos nomear os nossos eventos.

A : p e s q u i s a d o r   A   r e s o l v e r   o   p r o b l e m a

B : p e s q u i s a d o r   B   r e s o l v e r   o   p r o b l e m a

C : p e s q u i s a d o r   C   r e s o l v e r   o   p r o b l e m a

R : p r o b l e m a   s e r   r e s o l v i d o

D : p e l o   m e n o s   2   r e s o l v e r e m   o   p r o b l e m a

Anotamos também os dados do enunciado:

P A = 1 4   ,     P B = 1 5     ,     P C = 1 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a)

Vamos ter que calcular a prob. do problema ser resolvido,

P R =   ?

Com as informações que temos no enunciado iremos utilizar o caminho do complementar para resolver essa questão. Como assim? Vou te explicar agora!!

A gente sabe que a prob. do problema ser resolvido é 1 menos a prob. de ele não ser resolvido.

P R = 1 - P R c

Concorda?!

Fazemos dessa forma porque conseguimos calcular a probabilidade de nem o A , nem o B e nem o C resolverem a questão... Vamos ver como vai funcionar?!

Passo 3

A prob. P ( R c ) é a prob. de nem o A , nem o B e nem o C resolverem a questão;

Temos que

P A c = 3 4

P B c = 4 5

e

P C c = 2 3

Assim, vamos ter que P ( R c ) será a interseção desses três:

P R c = P ( A c ∩ B c ∩ C c )

= 3 4 × 4 5 × 2 3

= 24 60                          

Beleza?!

Passo 4

Com isso podemos substituir e encontrar o que queremos.

P R = 1 - P R c

P R = 1 - 24 60 = 36 60

P R = 0,6

Então a probabilidade do problema ser resolvido é de 60%.

Passo 5

(b)

Bom, vamos calcular agora P ( D ) .

Teremos os seguintes casos de pelo menos dois dentre os três resolverem a questão:

A ∩ B ∩ C

A c ∩ B ∩ C    

A ∩ B c ∩ C    

A ∩ B ∩ C c

Logo, A prob. de pelo menos dois dentre os três resolverem a questão será:

P D = P A ∩ B ∩ C     ∪   A c ∩ B ∩ C     ∪     A ∩ B c ∩ C     ∪     A ∩ B ∩ C c

Como os eventos A ∩ B ∩ C ,   ( A c ∩ B ∩ C ) ,     ( A ∩ B c ∩ C )     e     ( A ∩ B ∩ C c ) são mutuamente exclusivos (não haverá interseção entre eles pois as pesquisas são independentes) é só calcular cada interseção e somar.

P D = P A ∩ B ∩ C )   +   P ( A c ∩ B ∩ C )   + P ( A ∩ B c ∩ C )   +     P ( A ∩ B ∩ C c

Passo 6

Calculando cada parcela:

P A ∩ B ∩ C = 1 4 × 1 5 × 1 3 = 1 60

P A c ∩ B ∩ C = 3 4 × 1 5 × 1 3 = 3 60

P A ∩ B c ∩ C = 1 4 × 4 5 × 1 3 = 4 60

P A ∩ B ∩ C c = 1 4 × 1 5 × 2 3 = 2 60

Então:

P D = 1 60 + 3 60 + 4 60 + 2 60 = 10 60

P D = 1 6

Passo 7

(c)

Aqui queremos calcular a condicional de B resolver o problema dado que este foi resolvido por pelo menos dois pesquisadores. Ou seja, vamos utilizar a probabilidade condicional rs.

Queremos P B D .

P B D = P B ∩ D P D

O valor de P ( D ) nós já temos.

P D = 1 6

Beleza?!

Passo 8

Basta calcularmos P ( B ∩ D ) .

Vimos há alguns passos atrás que

P D = P A ∩ B ∩ C )   +   P ( A c ∩ B ∩ C )   + P ( A ∩ B c ∩ C )   +     P ( A ∩ B ∩ C c

Aqui só vamos pegar aqueles que contenham B, beleza?!

Então,

P B ∩ D = P A ∩ B ∩ C + P A ∩ B ∩ C c + P ( A c ∩ B ∩ C )

Concorda? A probabilidade de B ser um dos que resolveu o problema é isso aí mesmo num é? Beleza então.

Usando os valores que a gente já calculou no passo 6.

P B ∩ D = 1 60 + 2 60 + 3 60 = 6 60

Passo 9

Agora é só substituir na fórmula da prob. Condicional:

P B     D ) = 6 60 1 6 = 0,6

Resposta

a   0,6

b 1 6

c   0,6

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