Exercícios Resolvidos de Teorema da Probabilidade Total

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Enunciado

Para estudar o comportamento do mercado de smartphones, as marcas foram divididas em três categorias: marca S , marca I e marca L . Um estudo sobre os hábitos de mudança de marca por parte dos usuários mostrou que o seguinte quadro de probabilidades condicionais prevalece em qualquer momento no qual um usuário típico adquire um novo aparelho:

Por exemplo: Para i = 1,2 , . . . ;   P ( S i + 1 | S i ) = 0,55 ;   P ( L i + 1 | S i ) = 0,20 ;   P ( S i + 1 | L i ) = 0,35 . A compra do primeiro smartphone é feita conforme as probabilidades a seguir: P ( S 1 ) = 0,60 ;   P ( I 1 ) = 0,25   e   P ( L 1 ) = 0,15 . Calcule as probabilidades de um usuário:

(a) Comprar o seu segundo smartphone de cada uma das marcas: P ( S 2 ) , P ( I 2 ) e P ( L 2 ) ;

(b) Comprar o seu terceiro smartphone da marca S , ou seja, P ( S 3 ) ;

(c) Ter comprado o seu primeiro smartphone da marca S , dado que o segundo também foi da marca S , ou seja, P ( S 1 | S 2 ) .

Passo 1

Primeiro vamos entender melhor o que esse quadro tá falando! Ele dá a probabilidade de um proprietário de uma marca de smartphone continuar na mesma marca ou mudar para uma das outras duas. Então, se quiséssemos calcular a probabilidade de uma pessoa que fez sua primeira compra de smartphone na marca L , fazer sua segunda compra na marca S , o que queremos é isso: P ( S 2 | L 1 )

Ou seja, a probabilidade da segunda compra ser um smartphone S , dado que a primeira foi um smartphone L . Esse segunda e primeira tão justamente ligados aos índicezinhos que usamos para cara marca. E o quadro dá pra gente qualquer probabilidade condicional desse tipo, onde os índices forem do tipo i + 1 e i . No nosso exemplo aí em cima, i = 1 , por isso tivemos 2 e 1 como índice. Procurando essa condicional na tabela então:

P S 2 L 1 = 0,35

Vamos procurar proprietário da L (já que a primeira compra foi L ) e mudança para S (já que a segunda compra vai ser S ).

Agora que estamos entendidos com a tabela e esses índices, vamos ao que interessa!

Passo 2

a)

Nós temos o valor de todas as condicionais no quadro e os valores das probabilidades das primeiras compras dados:

  P S 1 = 0,60

P I 1 = 0,25

P ( L 1 ) = 0,15

Sabendo disso tudo, como calcular P ( S 2 ) , P ( I 2 ) e P ( L 2 ) ?

Lembrando da fórmula da probabilidade total:

P B = ∑ P B A i . P ( A i )

Usando primeiramente P ( S 2 ) no lugar de P ( B ) na fórmula:

P S 2 = P S 2 I 1 P I 1 + P S 2 L 1 P L 1 + P S 2 S 1 P ( S 1 )

Os nossos A i são justamente todas as primeiras compras possíveis que poderiam ter acontecido. Elas ter sido de qualquer marca, certo? Por isso entraram I 1 ,   L 1 e S 1 , porque são todas as primeiras compras possíveis que compões nossa probabilidade total. Olhando o valor das condicionais na tabela e usando os valores das probabilidades de primeira compra dados: P S 2 = 0,20.0,25 + 0,35.0,15 + 0,55.0,60 = 0,433

Agora para P ( I 2 ) , seguindo o mesmo raciocínio:

P I 2 = P I 2 I 1 P I 1 + P I 2 L 1 P L 1 + P I 2 S 1 P ( S 1 )

P I 2 = 0,60.0,25 + 0,30.0,15 + 0,25.0,60 = 0,345

E por fim para P L 2 :

P L 2 = P L 2 I 1 P I 1 + P L 2 L 1 P L 1 + P L 2 S 1 P ( S 1 )

P L 2 = 0,20.0,25 + 0,35.0,15 + 0,20.0,60 = 0,223

Passo 3

b)

Para calcular P ( S 3 ) podemos usar novamente o teorema da probabilidade total:

P S 3 = P S 3 I 2 P I 2 + P S 3 L 2 P L 2 + P S 3 S 2 P ( S 2 )

Lembrando que agora temos os valores de P ( I 2 ) , P ( L 2 ) e P ( S 2 ) do item anterior! As condicionais continuam sendo vistas na tabela. Então:

P S 3 = 0,20.0,345 + 0,35.0,233 + 0,55.0,433 = 0,385

Passo 4

c)

Queremos P ( S 1 | S 2 ) . Aplicando a fórmula da condicional:

P S 1 S 2 = P ( S 1 ) ∩ P ( S 2 ) P S 2

Opa, agora podemos manusear a expressão da probabilidade condicional.

Se quiséssemos a probabilidade da segunda compra ser de S dado que a primeira foi de S , que é um valor que temos na tabela, a condicional seria:

P S 2 S 1 = P ( S 2 ) ∩ P ( S 1 ) P S 1

Agora, você concorda comigo que:

P S 1 ∩ P S 2 = P ( S 2 ) ∩ P ( S 1 )

Para a interseção, não importa a ordem dos termos, a interseção entre os eventos S 1   e   S 2 é a mesma interseção entre os eventos S 2   e   S 1 , beleza!?

Com isso, vamos reescrever o nosso P S 2 S 1 , para que ele fique mais parecido com o P S 1 S 2 .

P S 2 S 1 = P ( S 2 ) ∩ P ( S 1 ) P S 1 = P ( S 1 ) ∩ P ( S 2 ) P S 1

Agora, podemos isolar essa nossa interseção!

P S 1 ∩ P S 2 = P S 2 S 1 . P ( S 1 )

Agora é só substituir essa interseção lá na fórmula da condicional que queremos, ou seja, P S 1 S 2 :

P S 1 S 2 = P ( S 1 ) ∩ P ( S 2 ) P S 2 = P S 2 S 1 P S 1 P ( S 2 )  

E todos esses valores já são conhecidos por nós! Substituindo eles aí:

P S 1 S 2 = 0,55.0,60 0,433 = 0,763

Resposta

P S 2 = 0,433

P I 2 = 0,345

P L 2 = 0,223

P S 3 = 0,385

P S 1 S 2 = 0,763

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