Exercícios Resolvidos de Teorema da Probabilidade Total

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,44-125

Os colégios A, B e C têm as seguintes porcentagens de rapazes, respectivamente: 40%, 20% e 10%. Um desses colégios é selecionado ao acaso e oito alunos são escolhidos, com reposição. Se o resultado for RRRMMMMM (R para rapaz e M para moça), qual é a probabilidade de ter sido selecionado o colégio C?

Passo 1

Primeira coisa que iremos fazer é anotar os dados do enunciado

Colégios

- A : 40% rapazes →   60% moças (Utilizamos o complementar)

- B: 20% rapazes →   80% moças

- C: 10% rapazes →   90% moças.

Evento D: Oito alunos são escolhidos ao acaso com reposição, sendo o resultado:

RRRMMMMM

Quero saber: Qual a probabilidade de ter sido selecionado o colégio C, dado esse resultado o sorteio?

Ou seja, quero saber P C D .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que:

P C D = P C ∩ D P D

Precisamos então calcular:

P C ∩ D e P ( D )

Passo 3

Cálculo de P C ∩ D

Queremos saber a probabilidade de ter retirado três rapazes e cinco moças na escola C.

8 ! 3 ! 5 ! . 0,10 3 0.90 5 = 0,033

Cálculo de P(D)

Vamos utilizar o Teorema da Probabilidade Total:

P D = P D A P A + P D B . P B + P D C . P ( C )

P D = P A ∩ D + P B ∩ D + P C ∩ D

E quem será P A ∩ D ?

É a probabilidade de ter sorteado três rapazes e cinco moças na escola A.

8 ! 3 ! 5 ! 0,40 3 0,60 5

E P B ∩ D ?

8 ! 3 ! 5 ! 0,20 3 0,80 5

Assim:

P D = 8 ! 3 ! 5 ! 0,40 3 0,60 5 +   8 ! 3 ! 5 ! 0,20 3 0,80 5 +   8 ! 3 ! 5 ! . 0,10 3 0.90 5

P D = 0,458

Substituindo teremos:

P C D = 0,033 0,458 = 0,072

Resposta

0,072

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