Exercícios Resolvidos de Teorema da Probabilidade Total

UFRJ-P1-2012.2.-1(b)(c)

Para competir em uma certa regata as embarcações podem velejar com no máximo 4 tripulantes. Os tripulantes de cada embarcação são inscritos previamente e não podem ser alterados mais tarde. A embarcação Chez Moi, participante da regata, inscreveu Alberto, Bernardo, Carlos e Diogo. Carlos e Diogo confirmaram a presença na regata com probabilidade 100%. A probabilidade de Alberto comparecer à regata é 50%, enquanto que a de Bernardo, é 70%. A decisão de comparecer ou não por parte de Alberto não influencia a decisão de comparecer ou não por parte de Bernardo e vice versa. Note que o fato do número de velejadores no barco poder ser igual a 2, 3 ou 4 caracteriza uma partição do espaço amostral. Com a tripulação completa, a embarcação Chez Moi tem 80% de probabilidade de vencer a regata; com apenas Carlos e Diogo, esta probabilidade cai para 20%; e com três tripulantes a probabilidade de vencer é de 50%. Pede-se calcular a probabilidade de que:

  1. pelo menos um dos velejadores, Alberto ou Bernardo, compareçam à regata;
  2. a embarcação Chez Moi vença a regata;
  3. pelo menos um dos velejadores, Alberto ou Bernardo, tenham comparecido à regata condicionado ao fato de que a embarcação Chez Moi venceu a regata. Compare suas respostas dadas nos itens (b) e (c). A probabilidade aumentou ou diminuiu? Por que?

Passo 1

(a)

Vamos chamar de:

A :   Alberto participar da regata

B :   Bernardo participar da regata

A gente sabe que:

P A = 0,5

P B = 0,7

A probabilidade de pelo menos um deles comparecer é dada por:

P A ∩ B + P A C ∩ B + P A ∩ B C = 0,5   .   0,7 + 0,5   .   0,7 + 0,5   .   0,3 = 0,85

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Passo 2

(b)

Chamando de:

V :   vencer a regata

A gente precisa calcular P ( V ) .

Existem 4 situações pra participação da regata.

A   e   B   participarem → A ∩ B

A   participar e   B   não → A ∩ B c

A   não participar e   B   sim → A c ∩ B

A   e   B   não participarem → A c ∩ B c

Passo 3

Pra calcular P ( V ) vamos usar o teorema da probabilidade total, levando em consideração as 4 situações discritas.

P V = P A ∩ B × P V A ∩ B + P A ∩ B c × P V A ∩ B c +

P A c ∩ B × P V A c ∩ B + P ( A c ∩ B c ) × P ( V | A c ∩ B c )

Se você ler com atenção o enunciado vai perceber que temos todos esses valores, lembrando que A e B são independentes e que P A c = 0,5 e P B c = 0,3 .

Passo 4

Do enunciado, a gente tira que:

P V A ∩ B = 0,80

P V A ∩ B c = P V A c ∩ B = 0,50

P V A c ∩ B c = 0,20

Substituindo os valores:

P V = 0,5 × 0,7 × 0,8 + 0,5 × 0,3 × 0,5 + 0,5 × 0,7 × 0,5 + 0,5 × 0,3 × 0,2

P V = 0,28 + 0,075 + 0,175 + 0,03

P V = 0,56

Passo 5

(c)

Agora a gente tem que calcular P ( A ∪ B | V ) .

Vamos usar prob. Condicional aqui.

P A ∪ B V = P ( [ A ∪ B ] ∩ V ) P V

Sendo que:

P V = 0,56

E:

P A ∪ B ∩ V = 0,28 + 0,075 + 0,175 = 0,53

É a probabilidade do barco vencer a regata e Bernardo ou Alberto estarem presentes, que foram calculadas como parcelas na hora que a gente calculou a probabilidade total do barco vencer a regata.

Substituindo os valores:

P A ∪ B V = 0,53 0,56 ≅ 0,95

Resposta

a   0 , 85

b   0,56

c   0,95

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