Exercícios Resolvidos de Teorema da Probabilidade Total

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Enunciado

O funcionamento do sistema ilustrado abaixo depende de 5 componentes:   C 1 , C 2 , C 3 , C 4   e   C 5 . Cada um desses componentes tem probabilidade 0,1 de estar defeituoso, independente dos demais; e o sistema irá funcionar apenas se houver pelo menos um caminho conectando os pontos A e B ao longo do qual nenhum componente esteja defeituoso.

a) Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos 5 componentes esteja defeituoso.

b) Calcule a probabilidade desse sistema funcionar.

c) Calcule a probabilida de que o componente C 3 esteja defeituoso, dado que o sistema está funcionando.

Passo 1

a) Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos 5 componentes esteja defeituoso

Queremos a probabilidade de PELO MENOS um dos 5 estar com defeito. Esse pelo menos aí tem que nos lembrar daquele bizu do complementar. Lembram?

P( pelo menos um dos 5 estar com defeito) = 1- P(nenhum ter defeito)

Então vamos calcular essa probabilidade:

P n e n h u m   t e r   d e f e i t o = P t o d o s   f u n c i o n a n d o

P t o d o s   f u n c i o n a n d o = P C 1 ∩ C 2 ∩ C 3 ∩ C 4 ∩ C 5

Passo 2

Como estamos falando de eventos independentes, podemos falar que:

P C 1 ∩ C 2 ∩ C 3 ∩ C 4 ∩ C 5 = P C 1 ) . P C 2 . P C 3 . P C 4 . P ( C 5

Pelo enunciado sabemos que:

P c o m p o n e n t e   f a l h a r = 0,1 = P C 1 -

Então

P c o m p o n e n t e   f u n c i o n a r = 1 - P c o m p o n e n t e   f a l h a r = 1 - 0,1 = 0,9

Como a probabilidade é igual para todos os componentes, teremos

P C 1 ∩ C 2 ∩ C 3 ∩ C 4 ∩ C 5 = P C 1 ) . P C 2 . P C 3 . P C 4 . P ( C 5

P C 1 ∩ C 2 ∩ C 3 ∩ C 4 ∩ C 5 = 0,9 . 0,9 . 0,9 . 0,9 . 0,9 = 0,9 5

Passo 3

Assim, substituindo teremos:

P p e l o   m e n o s   u m   e s t a r   c o m   d e f e i t o = 1 - 0,9 5

P p e l o   m e n o s   u m   e s t a r   c o m   d e f e i t o = 0,4095

Passo 4

b) Calcule a probabilidade desse sistema funcionar.

O enunciado nos diz: “o sistema irá funcionar apenas se houver pelo menos um caminho conectando os pontos A e B ao longo do qual nenhum componente esteja defeituoso.”

Então temos que olhar o desenho e analisar os caminhos:

1ª observação: Tanto o componente C 1 quanto o C 5 não podem estar com defeito, pois caso estejam não teremos um caminho ligando A e B.

A partir disso teremos algumas opções:

1ª opção: O componente C 2 está com defeito e C 3   E   C 4 estão funcionando

2ª opção: O componente C 2   está funcionando e C 3   E   C 4 estão com defeito.

3ª opção: O componente C 2   e   C 3 estão funcionando e C 4 está com defeito. (O caminho realizado será pelo fio de cima.)

4ª opção: O componente C 2   e   C 4 estão funcionando e C 3 está com defeito. (O caminho realizado será pelo fio de cima)

5ª opção: Todos os componente estão funcionando.

Simbora calcular a probabilidade de cada opção?

Passo 5

1ª opção: O componente C 2 está com defeito e C 3   E   C 4 estão funcionando

Funcionando: C 1 ,   C 3 ,   C 4 ,   C 5

Não funcionando: C 2

Queremos:

P C 1 ∩ C 2 - ∩ C 3 ∩ C 4 ∩ C 5 = P C 1 ) . P C 2 - . P C 3 . P C 4 . P ( C 5

P C 1 ∩ C 2 - ∩ C 3 ∩ C 4 ∩ C 5 = 0,9 . 0,1 . 0,9 . 0,9 . 0,9 = 0,1 . 0,9 4

Passo 6

2ª opção: O componente C 2   está funcionando e C 3   E   C 4 estão com defeito.

Funcionando: C 1 ,   C 2 ,   C 5

Não funcionando:   C 3 ,   C 4

Queremos:

P C 1 ∩ C 2 ∩ C 3 - ∩ C 4 - ∩ C 5 = P C 1 ) . P C 2 . P C 3 - . P C 4 - . P ( C 5

P C 1 ∩ C 2 ∩ C 3 - ∩ C 4 - ∩ C 5 = 0,9 . 0,9 . 0,1 . 0,1 . 0,9 = 0,1 2 . 0,9 3

Passo 7

3ª opção: O componente C 2   e   C 3 estão funcionando e C 4 está com defeito. (O caminho realizado será pelo fio de cima.)

Funcionando: C 1 ,   C 2 , C 3   C 5

Não funcionando:     C 4

Queremos:

P C 1 ∩ C 2 ∩ C 3 ∩ C 4 - ∩ C 5 = P C 1 ) . P C 2 . P C 3 . P C 4 - . P ( C 5

P C 1 ∩ C 2 ∩ C 3 ∩ C 4 - ∩ C 5 = 0,9 . 0,9 . 0,9 . 0,1 . 0,9 = 0,1 1 . 0,9 4

Passo 8

4ª opção: O componente C 2   e   C 4 estão funcionando e C 3 está com defeito. (O caminho realizado será pelo fio de cima)

Funcionando: C 1 ,   C 2 , C 4   C 5

Não funcionando:     C 3

Queremos:

P C 1 ∩ C 2 ∩ C 3 - ∩ C 4 ∩ C 5 = P C 1 ) . P C 2 . P C 3 - . P C 4 . P ( C 5

P C 1 ∩ C 2 ∩ C 3 - ∩ C 4 ∩ C 5 = 0,9 . 0,9 . 0,1 . 0,9 . 0,9 = 0,1 1 . 0,9 4

Passo 9

5ª opção: Todos os componente estão funcionando.

Funcionando: C 1 ,   C 2 , C 3 , C 4   C 5

Não funcionando:     0

Queremos:

P C 1 ∩ C 2 ∩ C 3 ∩ C 4 ∩ C 5 = P C 1 ) . P C 2 . P C 3 . P C 4 . P ( C 5

P C 1 ∩ C 2 ∩ C 3 ∩ C 4 ∩ C 5 = 0,9 . 0,9 . 0,9 . 0,9 . 0,9 = 0,9 5

Passo 10

Como dividimos em várias opções, devemos somar esses resultados:

P F =   3 × 0,9 4 0,1 + 0,9 3 0,1 2 + 0,9 5 = 0,7946

Passo 11

c) Calcule a probabilidade de que o componente C 3 esteja defeituoso, dado que o sistema está funcionando.

Agora estamos falando de condicional certo? E como que sabemos isso? Bom, ele está pedindo a probabilida de que C 3 seja defeituoso DADO QUE o sistema está funcionando. Ou seja, ele já está afirmando que o sistema funciona!

Escrevendo a fórmula da condicional:

P C 3 - F = P C 3 - ∩ F P F

Bom, P ( F ) nós acabamos de calcular no item (B)... Agora devemos focar no cálculo de P ( C 3 - ∩ F ) .

Passo 12

Para calcularmos P ( C 3 - ∩ F ) precisamos entender o que é esse termo.

Queremos a probabilidade de C 3 falhar e o experimento funcionar. Vamos olhar lá para as nossas opções do item B e verificar quais se enquadram nisso:

2ª opção: O componente C 2   está funcionando e C 3   E   C 4 estão com defeito.

C 1 ∩ C 2 ∩ C 3 - ∩ C 4 - ∩ C 5

P C 1 ∩ C 2 ∩ C 3 - ∩ C 4 - ∩ C 5 = 0,1 2 . 0,9 3

4ª opção: O componente C 2   e   C 4 estão funcionando e C 3 está com defeito.

C 1 ∩ C 2 ∩ C 3 - ∩ C 4 ∩ C 5

P C 1 ∩ C 2 ∩ C 3 - ∩ C 4 ∩ C 5 = 0,1 1 . 0,9 4

Então podemos falar que:

C 3 - ∩ F = C 1 ∩ C 2 ∩ C 3 - ∩ C 4 - ∩ C 5 ∪ C 1 ∩ C 2 ∩ C 3 - ∩ C 4 ∩ C 5

P C 3 - ∩ F = 0,1 2 . 0,9 3 + 0,1 1 . 0,9 4 = 0,0729

Passo 13

Substituindo teremos:

P C 3 - F = P C 3 - ∩ F P F = 0,0729 0,7946 = 0,09174

Resposta

a)   0,4095

b)   0,7946

c)   0,09174

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