Exercícios Resolvidos de Valores Médios em Sólidos

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Enunciado

5- Calcule o volume do sólido limitado pelos paraboloides z = x 2 + y 2 e z = 8 - x 2 - y 2 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema estamos interessados em calcular o solido limitado pelos paraboloides z = x 2 + y 2 e z = 8 - x 2 - y 2 .

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

A primeira coisa a se fazer, é visualizar o solido que estamos interessados. Depois disso, aplicamos os métodos necessários para obter o volume do solido que é formado.

Já adianto que para esse caso, vamos usar simetrias cilíndricas para calcular a integral volumétrica.

∭ W 1 d V

Sacou? Bora lá! 😁

Passo 2

O paraboloide z = x 2 + y 2 tem seu vértice na origem do sistema e possui concavidade voltada para cima. Já o paraboloide z = 8 - x 2 - y 2 possui seu vértice em z = 8 e corta o eixo x e o eixo y em 8 .

A projeção desse solido no plano x y resulta em um círculo, daí podemos ver que a simetria cilíndrica vai nos ajudar.

Para converter nosso problema de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas, fazemos

x = r c o s θ y = r s e n θ x 2 + y 2 = r 2

Antes de montar a integral, temos que definir os limites de integração para r e θ . Para θ é mais simples, pois na figura vemos que a projeção do solido varia de 0 a 2 π , mas para obter a variação de r temos que igualar as duas equações

x 2 + y 2 = 8 - x 2 - y 2

2 x 2 + 2 y 2 = 8

x 2 + y 2 = 4

Ou seja, r varia de 0 a 2 .

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ x 2 + y 2 8 - x 2 - y 2 1 d z r d r d θ

Lembra do jacobiano r que deve ser multiplicado à função de integração quando convertemos as coordenadas!

Passo 3

Integrando com relação a z e aplicando os limites de integração

∫ 1 d z = z

∫ x 2 + y 2 8 - x 2 - y 2 1 d z = 8 - x 2 - y 2 - x 2 + y 2

∫ x 2 + y 2 8 - x 2 - y 2 1 d z = 8 - 2 x 2 + y 2

Substituindo o resultado na integral

∫ 0 2 π ∫ 0 2 8 - 2 x 2 + y 2 r d r d θ

Convertendo as coordenadas e multiplicando o jacobiano, temos

∫ 0 2 π ∫ 0 2 8 r - 2 r 3 d r d θ

Integrando com relação a r

∫ 8 r - 2 r 3 d r = 8 r 1 + 1 1 + 1 - 2 r 3 + 1 3 + 1 = 4 r 2 - r 4 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 8 r - 2 r 3 d r = 4 2 2 - 2 4 2 - 0

∫ 0 2 8 r - 2 r 3 d r = 8

E por último, temos

∫ 8 d θ = 8 θ

∫ 0 2 π 8 d θ = 8 2 π - 0

∫ 0 2 π 8 d θ = 16 π

Portanto, o volume do solido é 16 π !

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

V = 16 π

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