Exercícios Resolvidos de Valores Médios em Sólidos

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Enunciado

Determine o volume da região R limitada pelos paraboloides z = x 2 + y 2 e z = 36 - 3 x 2 - 3 y 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume da região limitada pelos paraboloides z = x 2 + y 2 e z = 36 - 3 x 2 - 3 y 2 . Então, vamos começar visualizando essa região. Temos dois paraboloides, um virado para cima e que passa pela origem, em vermelho e um virado para baixo (por causa dos coeficientes negativos em x 2 e y 2 ) e que corta o eixo z em z = 36 :

Nós queremos o volume desse sólido, dado por:

V = ∭ W   d V = ∭ W   d x d y d z

Onde W é a região limitada pelos paraboloides. Como o sólido possui simetria em relação ao eixo z e as equações que o limitam tem termos quadráticos, vamos usar coordenadas cilíndricas:

x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ z = z

Então, vamos descobrir os intervalos de integração e substituir na integral de volume usando as coordenadas cilíndricas.

Vamos lá!

Passo 2

Para o paraboloide em azul, z 36 - 3 x 2 - 3 y 2 , vamos ter em coordenadas cilíndricas:

z = 36 - 3 r cos ⁡ θ 2 - 3 r   sen ⁡ θ 2

z = 36 - 3 r 2  

E para o paraboloide em vermelho, z = x 2 + y 2 , vamos ter:

z = r cos ⁡ θ 2 + r   sen ⁡ θ 2

z = r 2

Como os valores de z variam entre o paraboloide vermelho e o azul, temos r 2 ≤ z ≤ 36 - 3 r 2 . Além disso, vemos no gráfico que o nosso ângulo varia no intervalo 0 ≤ θ ≤ 2 π . E já sabemos que r ≥ 0 , mas qual o seu valor máximo? Temos esse valor quando as duas superfícies se encontram, certo? Vamos, então, fazer essa interseção:

z = r 2 = 36 - 3 r 2

4 r 2 = 36

r 2 = 9 →   r = 3

Portanto, descobrimos que 0 ≤ r ≤ 3 . Então, podemos escrever a região W como:

E = r , θ , z   0 ≤ r ≤ 3 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   r 2 ≤ z ≤ 36 - 3 r 2 }

Passo 3

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ r 2 36 - 3 r 2 r   d z d r d θ

Integrando em relação a z , temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 3 z   r r 2 36 - 3 r 2 d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 3 36 r - 4 r 3 d r d θ

Agora em relação a r :

∫ 0 2 π 18 r 2 - r 4 0 3 d θ

= ∫ 0 2 π 162 - 81 d θ

= 81 ∫ 0 2 π d θ

Finalmente, integramos em relação a θ :

81 θ 0 2 π

= 162 π

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

162 π

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