Exercícios Resolvidos de Valores Médios em Sólidos

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Enunciado

7 - Deduza o volume de um cilindro de raio R e altura h .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão queremos obter o volume de um cilindro de raio R e altura h a partir de uma integral tripla.

Como podemos fazer isso? 🤔

Calculamos o volume de um solido a partir da função 1 usando integrais triplas, por exemplo

∭ W 1 d x d y d z

Porém nosso objetivo é calcular o volume de um cilindro, então temos que converter nossas coordenadas para coordenadas cilindricas.

∫ θ i θ f ∫ r i r f ∫ z i z f r d z d r d θ

Em que r é o jacobiano da conversão das coordenadas.

Sacou? Bora lá!

Passo 2

Para coordenadas cilíndricas z i e z f descrevem a variação da altura z do sólido, que nesse caso vai de 0 e h , r i e r f descrevem a variação do raio do cilindro, 0 a R e θ i e θ f descrevem a variação do ângulo que o solido faz com o semieixo positivo de x , 0 a 2 π .

∫ 0 2 π ∫ 0 R ∫ 0 h r d z d r d θ

Integrando com relação a z ...

∫ r d z = r z

∫ 0 h r d z = r h

Agora com relação a r

∫ r h d r = r 1 + 1 1 + 1 h = r 2 2 h

∫ 0 R r h d r = h R 2 2

E por fim com relação a θ

∫ h R 2 2 d θ = θ h R 2 2

∫ 0 2 π h R 2 2 d θ = π R 2 h

Essa fórmula é familiar, é a fórmula do volume do cilindro!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

V = π R 2 h

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