Exercícios Resolvidos de Valores Médios em Sólidos

Elaboração Própria

Encontre o valor médio de F x , y , z = x 2 + y 2 + 2 y sobre a região D delimitada por

x 2 + y 2 = 4 z = 0 z = 4

Passo 1

Temos uma região um pouco mais complicada dessa vez ne? Mas não se assuste, o passo a passo vai ser o mesmo, vamos entender um pouco o que significa esse D que ele nos deu.

A nossa primeira equação trata-se da equação de um cilindro de raio r = 2 , já nos dá uma ideia de que teremos que fazer mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas, então se isso não está mt bem fixado dá uma olhada nos exercícios desse tipo.

Nosso cilindro vai ser limitado pelos planos z = 0 e z = 4 , fica mais ou menos assim:

O volume de um cilindro é dado pela fórmula

V C i l í n d r o = A B . h = π r 2 h

Lembrando da nossa equação do valor médio temos que

V a l o r   M é d i o = 1 V o l u m e   d e   D D F x , y , z d V

Precisamos calcular então o volume de D e os limites dessa integração mudando as variáveis de x , y , z para r , θ , z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos identificar os limites de integração da nossa região D . Perceba que, por ser um cilindro, é mais fácil transformar x , y , z em r , θ , z . Teremos então:

x = r cos θ

y = r sen θ

z = z

O jacobiano dessa mudança de variável é:

J = r

d x d y d z = r   d r d θ d z

Pela equação do cilindro:

x 2 + y 2 = 4

r 2 cos 2 θ + r 2 sen 2 θ = 4

r 2 = 4

r = 2

Portanto os nossos limites de integração serão:

0 r 2 0 θ 2 π 0 z 4

Passo 3

Para calcular o volume do cilindro D podemos usar a fórmula dada no passo 1:

V C i l í n d r o = π r 2 h = π . 2 2 . 4

V D = 16 π

OBS: Se você não se lembrasse da fórmula do cilindro, poderia descobrir o volume usando a seguinte integral tripla:

V D = D 1   d V

Onde d V = d x d y d z = r d r d θ d z e D tem os limites de integração calculados no passo 2.

Passo 4

Agora vamos juntar tudo na integral e resolver, tome muito cuidado para não esquecer nenhum termo nessa parte!

Quando mudamos de variável, nosso F ( x , y , z ) tem que ser transformado em um F ( r , θ , z )

F x , y , z = x 2 + y 2 + 2 y = r 2 cos 2 θ + r 2 sen 2 θ + 2 r sen θ

F r , θ , z = r 2 + 2 r sen θ

Colocando tudo na integral:

V a l o r   M é d i o = 1 V o l u m e   d e   D D F x , y , z d V

= 1 16 π 0 4 0 2 π 0 2 ( r 2 + 2 r sen θ )   r   d r d θ d z = 1 16 π 0 4 0 2 π 0 2 r 3 + 2 r 2 sen θ   d r d θ d z

Integrando em r :

= 1 16 π 0 4 0 2 π r 4 4 + 2 r 3 3 sen θ r = 2 r = 0 d θ d z = 1 16 π 0 4 0 2 π 4 + 16 3 sen θ   d θ d z

Integrando em θ :

1 16 π 0 4 4 θ - 16 3 cos θ θ = 2 π θ = 0 d z = 1 16 π 0 4 8 π - 16 3 - 0 - 16 3 d z = 1 16 π 0 4 8 π   d z

Finalmente, integrando em z :

1 16 π 8 π z z = 4 z = 0 = 32 π 16 π = 2

V a l o r   M é d i o = 2

Resposta

2

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