Exercícios Resolvidos de Valores Médios em Sólidos

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Enunciado

2- Use integral tripla para calcular o volume do sólido acima do plano x y , limitado por z = 4 - x 2 e pelos planos y = 0 e y = 4 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão, queremos calcular o volume formado acima do plano x y e limitado pelos planos z = 4 - x 2 , y = 0 e y = 4 .

E aí, lembra como calculamos isso? 😊

Para calcular o volume a partir de uma integral tripla, aplicamos ∭ V 1 d V

Onde V é a região limitada e d V = d x d y d z .

Então o que precisamos fazer é definir os limites de integração em x , y e z e aplicar na integral.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Primeiro vamos visualizar a região de integração.

Estamos interessados na região limitada por z = 4 - x 2 , y = 0 , y = 4 e acima do plano x y . Ou seja

Em z = 0 , vemos que x é limitado entre - 2 e 2 e y entre 0 e 4 .

Já a altura do solido z é dada entre 0 e 4 - x 2 , ou seja, montando a integral temos

∫ 0 4 ∫ - 2 2 ∫ 0 4 - x 2 1 d z d x d y

Calculando a primeira integral

∫ 1 d z = z

Aplicando os limites de integração

∫ 0 4 - x 2 1 d z = 4 - x 2 - 0

∫ 0 4 - x 2 1 d z = 4 - x 2

Integrando o resultado em relação a x ...

∫ 4 - x 2 d x = 4 x - x 2 + 1 2 + 1

∫ 4 - x 2 d x = 4 x - x 3 3

Aplicando os limites de integração de x

∫ - 2 2 4 - x 2 d x = 4 2 - 2 3 3 - 4 - 2 - - 2 3 3

∫ - 2 2 4 - x 2 d x = 32 3

Bacana, não é? 😎

Passo 3

Por fim, integrando o resultado em função de y ...

∫ 32 3 d y = 32 y 3

Aplicando os limites de integração

∫ 0 4 32 3 d y = 32 4 3 - 0

∫ 0 4 32 3 d y = 128 3

Portanto, o volume do solido do problema é 128 3

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

V = 128 3

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