Exercícios Resolvidos de Valores Médios em Sólidos

Ver Teoria

Enunciado

3-Calcule o volume do sólido W limitado superiormente pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 e inferiormente pelo cone z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema estamos interessados em obter o volume do solido W limitado pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 e acima do cone z = x 2 + y 2 .

Como obtemos esse volume? 👀

Perceba que há uma simetria esférica no problema, então temos que converter as coordenadas cartesianas para as coordenadas esféricas.

x = ρ s e n ϕ cos ⁡ θ y = ρ s e n ϕ s e n θ z = ρ cos ⁡ ϕ x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

Entendeu? Bora começar! 😊

Passo 2

Sabemos que o cálculo de volume a partir de uma integral tripla é dada por ∭ W 1 d V .

Se analisarmos a região de integração, temos

A partir dessa região, vemos que o sólido é o cone limitado superiormente pela esfera de raio 2 .

Portanto, para os limites de integração em coordenadas polares

Vemos que ρ varia de 0 a 2 , ϕ de 0 a π / 2 e θ de 0 a 2 π .

Com isso, nossa integral volumétrica será dada (sem esquecer do jacobiano “ ρ 2 s e n ϕ ”) por

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ρ 2 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Integrando com relação a ρ , temos

∫ ρ 2 s e n ϕ d ρ = ρ 2 + 1 2 + 1 s e n ϕ = ρ 3 3 s e n ϕ

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 2 ρ 2 s e n ϕ d ρ = 2 3 3 s e n ϕ - 0 3 3 s e n ϕ

∫ 0 2 ρ 2 s e n ϕ d ρ = 8 3 s e n ϕ

Integrando o resultado em relação a ϕ pelo teorema fundamental do cálculo.

∫ 8 3 s e n ϕ d ϕ = - 8 3 c o s ϕ

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 π 2 8 3 s e n ϕ d ϕ = - 8 3 c o s π 2 - - 8 3 c o s 0

∫ 0 π 2 8 3 s e n ϕ d ϕ = 8 3

E por fim, integrando o resultado com relação a θ

∫ 8 3 d θ = 8 θ 3

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π 8 3 d θ = 8 2 π 3 - 8 0 3 = 16 π 3

Com isso, temos que isso, temos que

V = 16 π 3

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

V = 16 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse o volume da cunha no primeiro octante que é cortada do cilindro y 2 + z 2 = 1 pelos planos y = x e x = 1 como uma integral tripla.Utilize a Tabela de Integrais (nas Páginas de Refêrencia 6-10
Use a Regra do Ponto Médio para as integrais triplas (Exercício 24) para estimar o valor da integral. Divida B em oito subcaixas de igual tamanho. ∭ B 1 ln ⁡ ( 1 + x + y + z ) d V onde B = x , y , z |
Na Regra do Ponto Médio para as Integrais Triplas, usamos a soma tripla de Riemann para aproximar a integral tripla em uma caixa B, onde f ( x , y , z ) é calculada no centro ( x - i , y - j , z - k )
A função densidade conjunta das variáveis aleatórias X ,Y e Z é f x , y , z = C x y z se 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ 2 e f x , y , z = 0 caso contrário.Determine o valor da constante C .Determine
Use a Regra do Ponto Médio para as integrais triplas (Exercício 24) para estimar o valor da integral. Divida B em oito subcaixas de tamanho igual. ∭ B x e x y z d V Onde B = x , y , z | 0 ≤ x ≤ 4 , 0