Exercícios Resolvidos de Velocidade e Período Orbital

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Enunciado

Considere um satélite artificial em órbita circular em torno da Terra. Diga como as seguintes propriedades do satélite variam em função do raio r de sua órbita:

a) módulo da velocidade;

b) energia cinética;

c) momento angular;

d) período.

Passo 1

Quando ele diz pra mostrar como as grandezas variam em função do r , devemos mostrar a proporcionalidade da grandeza com relação a r .

Exemplo... a energia cinética varia conforme o quadrado da velocidade:

K = m v 2 2

K ∝ v 2

Ou seja, a energia cinética K é proporcional ao quadrado da velocidade v .

Então, vamos pegar cada uma dessas grandezas.

Passo 2

Na letra (a), queremos sobre o módulo da velocidade.

Para achar isso, podemos relacionar a força gravitacional F g com a força centrípeta:

F g = F c t p

Essas forças tem as seguintes expressões:

F g = G M m r 2 F c t p = m v 2 r

Igualando as duas, temos:

G M m r 2 = m v 2 r

Cortando o R e a massa do corpo m :

G M r = v 2

v = G M r

Ahh, encontramos a expressão relacionando a velocidade v com o raio R .

Podemos evidenciar ainda mais:

v = G M r

v = G M r 1 / 2

v = G M × r - 1 / 2

Como G M é um termo constante, temos que a velocidade v é proporcional a:

v ∝ r - 1 / 2

Passo 3

Na letra (b), queremos como a energia cinética K varia em função de r .

Inicialmente, nossa cabeça pode até ficar tentando achar alguma relação elaborada do zero...

Porém, dá uma olhada aqui. Energia cinética é dada por:

K = m v 2 2

A gente não acabou de achar uma relação da velocidade v com r ?

Sim, né... então basta a gente aplicar a relação que já encontramos na expressão da energia cinética:

K = m G M r 2 2

Aquele expoente 2 cancela com a raiz quadrada:

K = m G M r 2

K = G M m 2 r

Ahh, então conseguimos relacionar a energia cinética K com o r :

K = G M m 2 1 r

K = G M m 2 × r - 1

Como o termo G M m / 2 é constante, achamos que a energia cinética varia com:

K ∝ r - 1

Passo 4

Na letra (c), queremos como o momento angular L varia em função de r .

O momento angular L é dado pela expressão:

L = m r v

Então o momento angular L varia proporcionalmente com r , né?

NÃOOOO! Está errado...

Olha só para o resto da expressão:

L = m v r

O termo multiplicando r , que é o termo m v não é uma constante, pois a velocidade v também varia conforme o raio r .

Ou seja, o momento angular L não está variando somente conforme aquele r da expressão.

Po, mas já achamos aquela expressão para a velocidade em função de r :

v = G M r

Então, basta substituir:

L = m G M r r

Vamos tentar melhorar isso jogando o r para dentro da raiz:

L = m G M r 2 r

L = m G M r

Separando o r novamente, temos:

L = m G M × r

L = m G M × r 1 / 2

Agora sim o termo que multiplica r é uma constante:

m G M = c t e

Então, o momento angular L varia conforme a raiz quadrada de r :

L ∝ r 1 / 2

Passo 5

Na letra (d), queremos como o período T varia em função de r .

Bom, uma das várias maneiras de relacionar o período T é através da expressão de velocidade média:

v m = ∆ S ∆ t

Se considerarmos uma volta completa na órbita, temos que o caminho percorrido é igual ao comprimento da circunferência:

∆ S = 2 π r

Enquanto o tempo que o astro leva para completar isso é o próprio período T :

∆ t = T

Então, temos:

v m = 2 π r T

Para a velocidade podemos usar aquela expressão que já achamos no item (a):

v = G M r

Substituindo isso na expressão, temos:

G M r = 2 π r T

Isolando o período, temos:

T = 2 π r G M r

T = 2 π r r G M

Passando o r para dentro da raiz, temos:

T = 2 π r 2 r G M

T = 2 π r 3 G M

Ahh, então conseguimos a expressão.

Vamos separar aquele r do resto, para ver a proporcionalidade:

T = 2 π 1 G M × r 3

T = 2 π 1 G M × r 3 / 2

Como todo esse termo multiplicando r é constante, temos que o período T varia conforme:

T ∝ r 3 / 2

Resposta

(a) velocidade:

v ∝ R - 1 / 2

(b) energia cinética: K ∝ r - 1

(c) momento angular: L ∝ r 1 / 2

(d) período: T ∝ r 3 / 2

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