Exercícios Resolvidos de Velocidade e Período Orbital

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Enunciado

O satélite 1 está em uma certa órbita circular em torno de um planeta, enquanto o satélite 2 está em uma órbita circular de raio maior em torno do mesmo planeta. Considere as seguintes afirmações:

1) O satélite 2 tem o maior período.

2) O satélite 2 tem o menor período.

3) O satélite 1 tem a maior velocidade.

4) O satélite 1 tem a menor velocidade.

5) Os dois satélites têm o mesmo período e a mesma velocidade.

A(s) informação(ões) correta(s) é(são):

a) 1 e 3 ;

b) 2 e 4 ;

c) 1 e 4 ;

d) 5 ;

e) 2 e 3 ;

Passo 1

Estamos tratando de órbitas circulares.

Como a força gravitacional age como uma força centrípeta, conseguimos igualar as duas expressões:

F g = F c t p

G M m R 2 = m v 2 R

G M R = v 2

Agora fica mole! Conseguimos analisar tanto a velocidade quanto o período desses satélites.

Passo 2

Vamos começar com as afirmativas (3) e (4). Qual dos dois satélites têm a maior velocidade?

Podemos isolar a velocidade (linear) v na nossa expressão:

G M R = v 2

v = G M R

Bom, olhando para a expressão da velocidade, vemos que quanto maior o raio R , menor é a velocidade do satélite.

Então o satélite 1 tem uma velocidade maior que o satélite 2.

Afirmativa (3) é verdadeira.

Afirmativa (4) é falsa.

Passo 3

Agora vamos para as afirmativas (1) e (2). Qual dos satélites têm o maior período?

O satélite 2 percorre um caminho maior em sua órbita (raio maior). Além disso, sua velocidade é menor que a do satélite 1, então, o tempo para o satélite 2 completar uma volta (período) é maior que o do satélite 1.

Afirmativa (1) é verdadeira.

Afirmativa (2) é falsa.

Podemos observar isso também através da expressão.

Fazemos o seguinte, lembra que:

v = ω R ω = 2 π T

Assim, achamos que a velocidade v é igual à:

v = 2 π T R

Então, voltando à expressão que achamos para a velocidade no Passo 2:

v = G M R

2 π T R = G M R

Assim, temos que o período T é:

T = 2 π R 3 G M

E comprovamos que o período aumenta conforme o raio aumenta.

Passo 4

Agora que já analisamos as velocidades e os períodos de cada satélite, sabemos que a afirmativa (5) não está correta.

Afirmativa (5) é falsa.

Logo, as afirmatvas verdadeiras são (1) e (3).

Ficamos com a letra (a).

Resposta

Letra (a)

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