Enunciado

Qual deve ser a velocidade orbital de um satélite que descreve uma órbita circular 780   k m acima da superfície terrestre?

Resposta: 7,47 km/s

Dados:

Constante gravitacional: G = 6,67 × 10 - 11   N m 2 / k g 2

Raio da Terra: R T = 6,38 × 10 6   m

Massa da Terra: M T = 5,98 × 10 24   k g

Passo 1

Queremos saber a velocidade para que um satélite entre em órbita a uma altura de 780   k m .

Como achamos a velocidade orbital?

Quando o corpo está em órbita circular, ele descreve uma trajetória circular com velocidade constante.

Então, sua força resultante é igual à força centrípeta:

F g = F c t p

As expressões para a força gravitacional F g e para a força centrípeta F c t p são:

F g = G M m r 2 F c t p = m v 2 r

Com essa relação conseguimos a velocidade orbital v .

Passo 2

Mãos à obra, vamos substituir as expressões na equação:

G M m r 2 = m v 2 r

Podemos cortar o raio r no denominador e cortar a massa m no numerador:

G M r = v 2

Assim, temos que a velocidade orbital é dada por:

v = G M r

É sempre bom lembrar que a velocidade orbital não depende da massa m do corpo... ela depende apenas da massa do planeta orbitado M e da distância ao seu centro r .

Passo 3

No enunciado, temos que o satélite está a uma altura h da superfície da Terra de:

h = 780   k m = 780 × 10 3   m

Mas aquela distância r da fórmula é a distância do corpo ao centro da Terra, então temos que somar o valor do raio da Terra R T à altura h :

r = h + R T

Assim, nossa expressão fica:

v = G M h + R T

Passo 4

Basta substituirmos os valores, que conseguimos a vlocidade v :

v = 6,67 × 10 - 11 ( 5,98 × 10 24 ) 780 × 10 3 +   6,38 × 10 6   m

v = 3,99 × 10 14 0,78 × 10 6 + 6,38 × 10 6

v = 3,99 × 10 14 7,16 × 10 6  

v = 55,7 × 10 6

v = 7,46 × 10 3   m / s

Assim, encontramos a velocidade orbital do satélite, podemos ainda passar a unidade de metros para quilômetros:

v = 7,46   k m / s

Resposta

v = 7,46   k m / s

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