Exercícios Resolvidos de Vetor Aceleração

Origem do Exercício

r t → é a posição de uma partícula no espaço no instante t . Encontre o ângulo entre os vetores aceleração e velocidade no instante t = 0 para

r t → = ln ⁡ t 2 + 1 i + tan - 1 ⁡ t j + t 2 + 1 k

Passo 1

Primeiro precisamos achar os vetores aceleração e velocidade no instante t = 0 .

Para achar a velocidade, precisamos derivar o vetor r t → :

v t → = d d t r t →

E para derivar um vetor, precisamos derivar cada uma de suas componentes:

d d t r t → = d d t ln ⁡ t 2 + 1 , d d t tan - 1 ⁡ t , t 2 + 1  

Essas derivadas podem ser um pouco complicadas, então vamos calcular uma de cada vez.

Na primeira, precisamos usar a regra da cadeia:

d d t ln ⁡ t 2 + 1 = d ln ⁡ t 2 + 1 d t 2 + 1   . d ( t 2 + 1 ) d t = 1 t 2 + 1 . 2 t = t t 2 + 1

Na segunda, é uma boa ter a fórmula decorada, ou olhar alguma tabela, porque a demonstração é bem complicada:

d d t tan - 1 ⁡ t = 1 t 2 + 1

E na terceira, voltamos à regra da cadeia:

d d t t 2 + 1 = d t 2 + 1 d ( t 2 + 1 )   . d ( t 2 + 1 ) d t = 1 2 t 2 + 1 . 2 t = t t 2 + 1

Então o vetor velocidade é:

v t → = t t 2 + 1 , 1 t 2 + 1 , t t 2 + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, agora para encontrar o vetor aceleração precisamos derivar o vetor velocidade!

a t → = d d t v t →

a t → = d d t t t 2 + 1 , 1 t 2 + 1 , t t 2 + 1

Mais uma vez as derivadas são um pouco complicadas, então vamos fazer uma de cada vez. Em todos os casos precisamos aplicar a regra do quociente:

d d x f x g x = g x f ' x - g ' x f ( x ) g x 2

Começando pela primeira:

d d t t t 2 + 1 = t 2 + 1 t ' - t 2 + 1 ' ( t ) t 2 + 1 2 = t 2 + 1 1 - ( 2 t ) ( t ) t 2 + 1 2 = 1 - t 2 t 2 + 1 2

E a segunda:

d d t 1 t 2 + 1 = t 2 + 1 1 ' - ( t 2 + 1 ) ' ( 1 ) t 2 + 1 2 = - 2 t t 2 + 1 2

E a terceira:

d d t t t 2 + 1 = t 2 + 1 1 ' - ( t 2 + 1 ) ' ( 1 ) t 2 + 1 2 = t 2 + 1 ( 0 ) - t t 2 + 1 ( 1 ) t 2 + 1 2

d d t t t 2 + 1 = - t 2 + 1 2 t 2 + 1 = - t 2 + 1 2 - 1 2 = - t 2 + 1 3 / 2

Então nosso vetor aceleração é:

a t → = 1 - t 2 t 2 + 1 2 , - 2 t t 2 + 1 2 , - t 2 + 1 3 2

Bem complicado!

Passo 3

Por sorte, o objetivo da questão é calcular o ângulo entre esses dois vetores no ponto t = 0 . Então vamos substituir isso nas fórmulas:

v 0 → = 0 0 2 + 1 , 1 0 2 + 1 , 0 0 2 + 1

v t → = 0,1 , 0

E o vetor aceleração:

a t → = 1 - 0 2 0 2 + 1 2 , - 20 0 2 + 1 2 , - 0 2 + 1 3 2

a t → = 1,0 , - 1

Então nosso objetivo é calcular o ângulo entre esses dois vetores.

Passo 4

A fórmula para calcular o ângulo θ entre dois vetores é:

cos ⁡ θ = v t → ∙ a t → v t → a t →

No numerador, temos o produto interno entre os dois vetores, e no denominador, temos o produto dos módulos! Vamos calcular esses valores.

O módulo do vetor velocidade é:

v t → = 0,1 , 0 = 0 2 + 1 2 + 0 2 = 1

E o do vetor aceleração é:

a t → = 1,0 , - 1 = 1 2 + 0 2 + - 1 2 = 2

E o produto interno dos dois vetores é:

v t → ∙ a t → = 0,1 , 0 ∙ 1,0 , - 1 = 1 0 + 0 1 + 0 - 1 = 0

Então:

cos ⁡ θ = 0 ( 2 ) ( 1 ) = 0

Isso quer dizer que os dois vetores são perpendiculares! O ângulo entre eles é:

θ = π 2

Resposta

O ângulo entre os vetores mede π / 2 no instante t = 0 .

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