Exercícios Resolvidos de Vetor Aceleração

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 281, exercício 9.

Uma partícula se move no plano de modo que seus vetores velocidade e aceleração são sempre ortogonais. Mostre que a partícula se move num circulo centrado na origem.

Passo 1

Como o problema pede, vamos supor que a partícula se move num círculo centrado na origem. Sabemos que o vetor velocidade é sempre tangente a trajetória, então, se o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade, significa que ele está na mesma direção do vetor posição.

Se a gente provar que o vetor posição e o vetor velocidade são ortogonais, provamos também que velocidade e aceleração também o são.

Fazemos:

r → t = ( x ( t ) , y ( t ) )

v → t = r ' ( t )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que se dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é nulo. Assim:

v → t ⋅ r → t = 0

Agora a gente faz uma manobra aqui:

0 = 1 2 v → t ⋅ r → t + 1 2 v → t ⋅ r → t

Faz sentido né?

Passo 3

Agora, se a gente escrever v → t = r → ' ( t )

Vamos ver que o que temos é a regra de derivação para produto escalar entre r ( t ) e r ( t ) :

0 = 1 2 r ' t ⋅ r t + 1 2 r ' t ⋅ r t

0 = 1 2 d d t r t . r t

Passo 4

Mas

r t 2 = r t . r t

E considerando que a trajetória é um circulo, ‖ r t ‖ é uma constante, igual ao raio R da trajetória.

r t . r t = R ²

Passo 5

-

r t . r t = R ²

( x t , y t . ( x t , y t = R ²

x 2 t + y 2 t = R ²

E essa é exatamente a equação do circulo centrado na origem!!

Assim, provamos que a trajetória é um circulo centrado na origem :D

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas