Exercícios Resolvidos de Vetor Aceleração

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Enunciado

Um objeto se move no plano x y de modo que em cada instante t ≥ 0   seu vetor aceleração é a t = 0 , - 2 t . No instante t = 0 sua posição inicial é ( 0,0 ) e sua velocidade inicial é ( 2,1 ) . A trajetória descrita pelo objeto:

  1. Corta o eixo x   em apenas um ponto
  2. Corta o eixo x   em 2 pontos
  3. Corta o eixo x   em exatamente   3   pontos
  4. Corta o eixo x   em pelo menos 3 pontos
  5. Não corta o eixo x

Passo 1

Ele dá a aceleração a t e pede informações sobre a trajetória, que é descrita pelo vetor posição r t .

Sabemos que:

a t = v ' ( t ) = r ' ' ( t )

E do enunciado temos:

v 0 = 2 , 1 ,     r 0 = ( 0,0 )

O que acontece é: se integrarmos a ( t ) duas vezes, nós chegaremos em r t . E as informações do enunciado vão nos ajudar a achar os valores das constantes que aparecem por esse caminho. Vamos lá.

Passo 2

Temos que a t = 0 , - 2 t e sabemos que

a t = d v d t ∴ v t = ∫ a t d t

Integrando cada componente de a t :

∫ 0   d t = A ,     A = c t e

∫ - 2 t d t = - t 2 + B ,     B = c t e

Logo:

v t = ( A ,   - t 2 + B )

Passo 3

Sabendo que v 0 = 2 , 1 :

v 0 = A , - 0 2 + B = 2 , 1 ∴ A , B = 2 , 1

  v t = ( 2 ,   - t 2 + 1 )

Passo 4

Agora, sabendo que:

v t = d r d t ∴ r t = ∫ v t d t

Vamos integrar cada componente de v ( t ) para encontrar cada componente de r ( t ) , que descreve nossa trajetória:

∫ 2   d t = 2 t + C ,     C = c t e

∫ - t 2 + 1   d t =   - t 3 3 + t + D ,     D = c t e

Assim:

r t = ( 2 t + C , - t 3 3 + t + D )  

Passo 5

Podemos usar as informações iniciais para achar C e D :

r 0 = 0,0

r 0 = 2 . 0 + C , - 0 3 3 + 0 + D = 0,0 ∴ C , D = 0,0

Por fim, nossa trajetória é descrita pela equação:

  r t = ( 2 t , - t 3 3 + t )

Passo 6

Ok, mas o que a questão pedia mesmo? Ah sim. Ela quer saber em quantos pontos essa trajetória corta o eixo x . E como a gente faz isso?

Concorda comigo que para cortar o eixo x , a coordenada y tem que zerar? Então vamos ver para quais valores de t ≥ 0 (dado do enunciado), y = 0 para a equação da nossa curva.

y t = - t 3 3 + t = 0

t   – t 2 3 + 1 = 0

t = 0 ,       – t 2 3 + 1 = 0

– t 2 3 + 1 = 0 ∴ t 2 = 3 ∴ t = ± 3

A gente achou 3 valores para t :

t = ± 3 ,     t = 0

Mas como t ≥ 0 , não consideramos o valor negativo de t . Logo nossa resposta é a letra b

Resposta

Letra b

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