Exercícios Resolvidos de Vetor Aceleração

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.46. questão 9.

Uma partícula se move ao longo do ramo superior da hipérbole y 2 - x 2 = 9 de tal forma que d x d t é uma constante positiva. Encontre o que se pede quando a partícula está em ( 4,5 ) : o vetor posição, o vetor velocidade, o vetor aceleração, o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário, as componentes normal e tangencial da aceleração, a n e a t .

Passo 1

Primeira coisa: vamos parametrizar o ramo superior dessa hipérbole.

Se você não se lembra bem, dá uma olhada de novo em “Parametrização”.

y 3 2 - x 3 2 = 1

y t = 3   c o s h   u ( t )  

x t = 3 u ( t )  

u ( t ) R

σ t = 3 u t   , 3 c o s h   u t  

Entendeu por que eu coloquei o parâmetro como u ( t ) ? É por causa daquela parada que eu expliquei em “Vetor velocidade” de que pra falarmos de velocidade, o parâmetro tem que ser sempre o tempo e a parametrização da hipérbole é em função de um ângulo. Então fazemos esse ângulo ser uma função do tempo.

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Passo 2

Agora, vamos ao que a questão pede para o ponto ( 4,5 )

Primeiro, o vetor posição neste ponto:

Essa é fácil né? Se a partícula está no ponto ( 4,5 ) , qual a posição dela?

( 4,5 ) né?!

Então é isso, a posição é:

r ( t ) = ( 4,5 )

Passo 3

Ok, vetor velocidade:

v t = d d t σ t = d x t d t , d y t d t

v t = 3   c o s h   u t   . d u d t , 3 u t   . d u d t

Mas, no ponto ( 4,5 ) a gente sabe que

x t = 3 u ( t )   = 4

y t = 3   c o s h   u ( t )   = 5

Então a gente pode substituir isso ali em cima:

v t = 5 . d u d t , 4 . d u d t

Mas

d x t d t = 3   c o s h   u t   . d u d t = 5 . d u d t

Substituindo isso:

v t = d x d t , 4 5 d x d t = d x d t 1 , 4 5

Tranquilo?

Passo 4

Vetor aceleração:

a t = v ' t = 3 u t   . d u d t . d u d t + 3   c o s h   u t .   d 2 u d t 2   , 3   c o s h   u t   . d u d t . d u d t + 3   s i n h   u t   . d 2 u d t 2

Usamos regra do produto e regra da cadeia!

Agora temos que achar uma relação entre d 2 u d t 2 e d 2 x d t 2 já que as informações que o problema nos dá são sobre d x d t .

d 2 x d t 2   = 3 u t   . d u d t . d u d t + 3     c o s h   u t .   d 2 u d t 2   = 0

Já que a questão disse que d x d t é uma constante positiva, então sua segunda derivada é zero.

d 2 u d t 2 = - 3 u t   d u d t 2 3   c o s h   u t  

Agora, finalmente, substituindo no ponto ( 4,5 ) , temos:

d 2 u d t 2 = - 4 5 d u d t 2 = - 4 5 1 5 . d x d t 2 = - 4 125 d x d t 2

Pois

3 u ( t )   = 4

3   c o s h   u ( t )   = 5

d x t d t = 3   c o s h   u t   . d u d t = 5 . d u d t

d u d t = 1 5 . d x d t

Que são relações que a gente já achou lá em cima :D

Beleza? Agora só falta substituir o ponto ( 4,5 ) no vetor aceleração:

a t = 4 1 5 . d x d t 2 + 5 - 4 125 d x d t 2 , 5 1 5 . d x d t 2 + 4 - 4 125 d x d t 2

a t = 4 25 d x d t 2 - 4 25 d x d t 2 , 1 5 d x d t 2 - 16 125 d x d t 2 = 0 , 9 125 d x d t 2

a t = d x d t 2 0 , 9 125

Passo 5

Vetor tangente unitário:

T = v v

v t = d x d t , 4 5 d x d t = d x d t 1 , 4 5

v = d x d t 2 + 4 5 d x d t 2 =   d x d t 2 1 + 16 25 = d x d t 41 5

T = d x d t , 4 5 d x d t d x d t 41 5 = 5 41 , 4 41

Passo 6

Vetor normal unitário:

O vetor normal pode ser calculado como

n = - d y d t , d x d t

Assim, o vetor normal unitário fica:

N = - d y d t , d x d t d y d t 2 + d x d t 2  

Mas, esse denominador a gente já calculou né? Concorda que ele é igual a

v = d x d t 2 + 4 5 d x d t 2 =   d x d t 2 1 + 16 25 = d x d t 41 5

Porque d y d t = 4 5 d x d t

Fazendo as substituições, então, temos:

N = - 4 5 d x d t , d x d t d x d t 41 5 = - 4 41 , 5 41

Passo 7

A componente normal da aceleração é:

a n = v ( t ) = v ( t )

a n = d x d t 2 + 4 5 d x d t 2 = d x d t 41 5

a n = d x d t 41 5

Passo 8

Já a componente tangencial da aceleração é:

a t = v ' ( t ) = d d t v ( t )

a t = d d t d x d t 2 + 4 5 d x d t 2 = d d t d x d t 41 5

a t = d 2 x d t 2 41 5

Resposta

r ( t ) = ( 4,5 )

v ( t ) = d x d t 1 , 4 5

a t = d x d t 2 0 , 9 125

T = 5 41 , 4 41

N = - 4 41 , 5 41

a n = d x d t 41 5

a t = d 2 x d t 2 41 5

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