Exercícios Resolvidos de Vetor Aceleração

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Enunciado

(Capítulo 13.4 – Exercício 4) Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada. Esboce a trajetória da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de t especificados.

r t = 〈 2 - t ,     4 t 〉 ,     t = 1  

Passo 1

Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?

O objetivo dessa questão aqui, é determinar a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula, a partir de uma função posição r ( t ) que nos foi dada. Mas como faremos isso?

Basta a gente lembrar da literatura, que a velocidade de uma partícula pode ser encontrada a partir da derivação de sua função posição!

Já a aceleração, será a derivada da derivada da função posição, ou seja, a derivada segunda da posição ou a derivada da velocidade.

E por fim, a velocidade escalar é dada pelo cálculo da norma do vetor aceleração.

Passo 2

Então, vamos começar encontrando a velocidade. O enunciado deu pra gente que a posição da partícula é a seguinte:

r t = 〈 2 - t ,     4 t 〉

Derivando a função acima, vamos ter:

r ' t = v ( t ) = 〈 - 1 ,     2 t 〉

Além disso, o enunciado nos forneceu o valor de t , que é igual a 1. Então já podemos substitui-lo na velocidade acima:

r ' 1 = v ( 1 ) = 〈 - 1,2 〉

Pronto! A velocidade nós já temos. Bora calcular a aceleração então!

Passo 3

Como foi falado no passo 1, a aceleração se dá pela derivada segunda da função posição da partícula, ou seja:

a t = r ' ' t = v ' t = 〈 - 1 , 2 t 〉 '

a t = 〈 0 ,     - 1 t 3 2 〉

E em t = 1 :

a 1 = 〈 0 , - 1 〉

Passo 4

Por fim, pra gente encontrar a velocidade escalar, precisamos da norma do vetor aceleração. Pra isso, vamos assumir um sistema de coordenada ortogonal e tirar a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada uma dessas coordenadas (que é encontrada pela velocidade).

Esse sistema de coordenadas foi encontrado no passo 2: r ' t = v ( t ) = 〈 - 1 ,     2 t 〉

v t = - 1 2 + 2 t 2

v t = 1 + 4 t

Prontinho! Agora só falta esboçarmos a trajetória da partícula e desenhar os vetores velocidade e aceleração para os valores de t = 1 .

Então, vamos ter que:

Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma??

Resposta

v ( t ) = 〈 - 1,2 〉

a t = 〈 0 , - 1 〉

v t = 1 + 4 t

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