Exercícios Resolvidos de Vetor Aceleração

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Enunciado

(Cap. 13.4 - Ex. 15) Determine os vetores velocidade e posição de uma partícula, dadas a sua aceleração, velocidade e posição iniciais.

a t = i + 2   j ,     v 0 = k ,     r 0 = i

Passo 1

Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?

O objetivo dessa questão, é determinar os vetores velocidade e posição de uma partícula, a partir de sua aceleração, velocidade e posição iniciais. E como faremos isso?

Primeiro vamos relembrar alguns conceitos da literatura:

Quando temos a aceleração de um objeto do tipo:

a t = a x t i + a y t j + a z t k

A velocidade dessa partícula é:

v t = ∫ a x ( t ) d t   i + ∫ a y t d t   j + ∫ a z t d t   k

E a posição dela é:

r t = ∫ v x t d t   i + ∫ v y ( t ) d t   j + ∫ v z t d t   k

Sendo v x , v y , v z as componentes da velocidade.

Sabendo isso será bem fácil resolver essa questãozinha aqui! Então vamos lá!

Passo 2

Queremos saber a velocidade e posição da seguinte partícula:

{ a t = i + 2 j   v 0 = k   r 0 = i  

Então, do passo 1, sabemos que essa velocidade pode ser calculada da seguinte maneira:

v t = ∫ a x ( t ) d t   i + ∫ a y t d t   j + ∫ a z t d t   k

Vamos usar o valor da aceleração dada no enunciado para fazer as substituições na fórmula acima. Temos que: a t = i + 2   j , então vemos que a componente x é i , a componente y é 2 j e que a componente z é 0 .

Substituindo na fórmula:

v t = ∫ 1 d t   i + ∫ 2 d t   j + ∫ 0 d t   k

v t = ( t + C 1 ) i + ( 2 t + C 2 ) j + C 3 k

Os valores de C 1 ,   C 2 e C 3 são as constantes de integração. Para a gente achar o valor delas, vamos usar as outras informações dadas no enunciado: v 0 = k = 0 i + 0 j + k e r 0 = i .

Então, calculando as constantes, vamos fazer primeiro v ( 0 ) :

v 0 = C 1 i + C 2 j + C 3 k

Mas, nós também sabemos que v 0 = k = 0 i + 0 j + k , então, podemos ver que:

C 1 i + C 2 j + C 3 k = 0 i + 0 j + 1 k

C 1 = 0 ,     C 2 = 0 ,     C 3 = 1

Assim, substituindo os valores das constantes em v ( t ) , vamos ter que a velocidade da partícula é:

v t = t i + 2 t j + k

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda parte do exercício, que é a posição da partícula.

Do passo 1, sabemos que essa posição pode ser calculada da seguinte maneira:

r t = ∫ v x t d t   i + ∫ v y ( t ) d t   j + ∫ v z t d t   k

Vamos usar o valor da velocidade encontrada no passo anterior para fazer as substituições na fórmula acima. Temos que: v t = t i + 2 t j + k , então vemos que a componente x é t i , a componente y é 2 t j e que a componente z é k .

Substituindo na fórmula:

r t = ∫ t d t   i + ∫ 2 t d t   j + ∫ 1 d t   k

r t = t 2 2 + C 4   i + ( t 2 + C 5 )   j + ( t + C 6 )   k

Os valores de C 1 ,   C 2 e C 3 são as constantes de integração. Para a gente achar o valor delas, vamos usar as outras informações dadas no enunciado: v 0 = k = 0 i + 0 j + k e r 0 = i .

Então, calculando as constantes, vamos fazer primeiro r ( 0 ) :

r 0 = C 4 i + C 5 j + C 6 k

Mas, nós também sabemos que r 0 = i = i ,   0 j ,   0 k , então, podemos ver que:

C 4 i + C 5 j + C 6 k = i

C 4 = 1 ,     C 5 = 0 ,     C 6 = 0

Assim, substituindo os valores das constantes em r ( t ) , vamos ter que a posição da partícula é:

r t = t 2 2 + 1   i + ( t 2 )   j + ( t )   k

Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma??

Resposta

v t = t i + 2 t j + k

r t = t 2 2 + 1   i + ( t 2 )   j + ( t )   k

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