Exercícios Resolvidos de Vetor Aceleração

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Enunciado

(Cap. 13.4 - Ex. 21) Uma força com magnitude 20   N atua diretamente para cima do plano x y em um objeto com massa 4   k g . O objeto começa na origem com velocidade inicial v 0 = i - j . Encontre sua função posição e sua velocidade escalar no instante t .

Passo 1

Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?

O objetivo dessa questão aqui é encontrar uma função posição, e a velocidade escalar em um determinado instante, a partir de uma força, velocidade inicial e uma massa que foram dadas. Tá, mas como fazer isso?

Vamos seguir por partes. Primeiro, vamos lembrar aqui da segunda lei de Newton. Ela diz que a força está relacionada com a aceleração da seguinte maneira: F → = m . a → . Mas por que isso vai ajudar a gente aqui? Porque para determinarmos a velocidade escalar, vamos utilizar a velocidade vetorial (que nós ainda não temos), onde essa nada mais é do que a integral da aceleração!! Vamos lá então?

Para utilizarmos a lei de Newton, vamos decompô-la:

F x ,     F y ,     F z = m * ( a x , a y , a z )

Agora, vamos lembrar que se a força atua pra cima, ela está na direção ascendente a partir do plano x y , ou seja, na direção positiva de z . Então, substituindo os valores de F e de m dados no enunciado, temos:

0   i ,   0   j ,   20   k = 4 * ( a x , a y , a z )

Assim a aceleração também vai ser na direção positiva do eixo z :

a → = 5   k

Beleza! Mas o que fazemos com essa informação? Lembra que falamos aqui que a velocidade vetorial seria encontrada a partir dessa aceleração? Isso vai acontecer da seguinte forma:

v t = ∫ a x ( t ) d t   i + ∫ a y t d t   j + ∫ a z t d t   k

v t = ∫ 0   d t   i + ∫ 0   d t   j + ∫ 5   d t   k

v ( t ) = 5 t   k + C

A constante C pode ser calculada com a condição inicial da velocidade, dada no enunciado.

No instante t = 0 a velocidade é v 0 = i - j . Agora é só substituir:

v 0 = [ ( 5 * 0 ) k ] + C = i - j

C = i - j

Assim a velocidade vetorial é:

v t = i - j + 5 t   k

Passo 2

Agora que temos a velocidade vetorial, podemos encontrar a velocidade escalar, que é o que o problema pede! E como fazer isso? A velocidade escalar se dá pela norma do vetor aceleração:

v ( t ) = a x 2 + a y 2 + a z 2

Substituindo os valores encontrados no passo 1, na fórmula acima, temos:

v ( t ) = 1 2 + - 1 2 + 5 t 2 = 2 + 25 t 2

Pronto! Encontramos a velocidade escalar! Vamos agora encontrar a outra parte do problema: a função posição.

Passo 3

O problema pede essa função posição, em função do tempo!

Então, vamos precisar lembrar lá da física: quando temos uma função que descreve a posição em função do tempo, temos a velocidade. Então, podemos tirar a integral das componentes dessa velocidade vetorial! Em termos de fórmula, vamos ter:

r t = ∫ v x t d t   i + ∫ v y t d t   j + ∫ v z t d t   k

Onde r ( t ) é a função posição.

Vamos então substituir a velocidade vetorial encontrada no passo 1, na fórmula acima:

r t = ∫ 1   d t   i + ∫ - 1   d t   j + ∫ 5 t   d t   k

r t = t   i - t   j + 5 t 2 2   k + C

A constante C é a constante de integração. Como a partícula parte da origem no instante inicial r → 0 = ( 0 ,   0 ,   0 ) , podemos afirmar que essa constante é zero, pois:

r t = 0   i - 0   j + 5 * 0 2 2   k + C

C = 0

Então, a função posição será:

r t = t   i - t   j + 5 t 2 2   k

Uhul! Conseguimos.

Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma?

Resposta

v ( t ) = 2 + 25 t 2

r t = t   i - t   j + 5 t 2 2   k

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