Exercícios Resolvidos de Vetor Aceleração

UNICAMP, Cálculo 2, P1, 2018.1, questão 1

Se

f t = r t ∙ r ' t × r ' ' t

Mostre que

f ' t = r t ∙ r ' t × r ' ' ' t

Passo 1

Temos uma função e queremos calcular a derivada dela.

Acontece que nossa função é o produto de outras funções de t , então pra derivar vamos ter que usar a regra do produto, lembrando daquelas regrinhas de derivação de quando a gente tem um produto escalar e um produto vetorial entre dois vetores:

  1. d d t σ 1 t ∙ σ 2 ( t ) = σ 1 ' t ∙ σ 2 t + σ 1 t ∙ σ 2 ' ( t ) (Regra do produto)
  2. d d t σ 1 t × σ 2 ( t ) = σ 1 ' t × σ 2 t + σ 1 t × σ 2 ' ( t ) (Regra do produto)
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos lá então. Nossa função é:

f t = r t ∙ r ' t × r ' ' t

Usando a regra do produto para o produto escalar, temos:

f ' t = r ' t ∙ r ' t × r ' ' t + r t ∙ r ' t × r ' ' t '

Passo 3

Agora vamos usar a regra do produto pra produto vetorial, para podermos fazer a derivada desse último termo aí:

r ' t × r ' ' t ' = r ' ' t × r ' ' t + r ' t × r ' ' ' t

Passo 4

Substituindo agora na fórmula do passo 2:

f ' t = r ' t ∙ r ' t × r ' ' t + r t ∙ r ' ' t × r ' ' t + r ' t × r ' ' ' t

Fazendo a distributiva:

f ' t = r ' t ∙ r ' t × r ' ' t + r t ∙ r ' ' t × r ' ' t + r t ∙ r ' t × r ' ' ' t

Passo 5

Beleza, parece que não chegamos a lugar nenhum.

Mas agora é o momento de pensarmos um pouquinho.

Produto vetorial entre dois vetores é sempre algo que nos retorna um vetor que é perpendicular, simultaneamente, a esses dois vetores.

Assim, no primeiro termo nessa nossa equação aí de cima, ficaremos com o produto escalar entre o vetor r ' t e um vetor que é perpendicular a r ' t e r ' ' t . Ou seja, teremos o produto escalar entre dois vetores perpendiculares, que são o vetor r ' t e um vetor resultante do produto vetorial, que é perpendicular ao vetor r ' t .

E, o produto escalar entre dois vetores perpendiculares, nós já sabemos que é nulo. Assim, nosso primeiro termo morre e ficamos com a equação:

f ' t = r t ∙ r ' ' t × r ' ' t + r t ∙ r ' t × r ' ' ' t

Passo 6

Agora precisamos pensar numa justificativa para que esse (novo) primeiro termo, da equação acima, seja nulo também, porque aí finalmente chegaríamos na expressão que a questão nos pede pra provar que é verdadeira.

Vamos a essa missão então.

Se a gente imaginar que r ( t ) é a parametrização da trajetória de uma partícula, o vetor r ' ( t ) representa a velocidade da partícula e o vetor r ' ' ( t ) representa sua aceleração.

Já sabemos que o produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores do produto, que no caso, é o vetor aceleração r ' ' ( t ) .

E, sabemos que o vetor aceleração é paralelo a trajetória de uma partícula.

Assim, o produto vetorial

r ' ' t × r ' ' t

Vai nos dar um vetor que é perpendicular ao vetor aceleração e que, consequentemente, será perpendicular ao vetor posição r ( t ) .

OPA! Então o produto escalar

r t ∙ r ' ' t × r ' ' t

É um produto escalar entre dois vetores perpendiculares.

Logo, vale zero também.

Assim, conseguimos nossa justificativa pra anular esse termo e nossa equação fica apenas

f ' t = r t ∙ r ' t × r ' ' ' t

Que é justamente o que a questão nos pede pra provar.

UHUL GRAZADEUS CONSEGUIMOS.

Resposta

f ' t = r t ∙ r ' t × r ' ' ' t

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