Exercícios Resolvidos de Vetor Aceleração

Origem do Exercício

Calcule a aceleração de um partícula com vetor de posição r t = ( t 2 , e t , t e t ) . Indique a única resposta correta.

  1. ( 2,0 , 2 + t e t )
  2. 5 , e t , 8 + t e t
  3. ( 1 , e t , 2 + t e t )
  4. 2 , e t , 2 + t e t
  5. ( 2 , e t , t e t )

Passo 1

Quando temos a função da posição de uma partícula, podemos derivar uma vez para obter a velocidade:

v t = d d t r ( t )

E derivar pela segunda vez para achar a aceleração:

a t = d d t v t = d 2 d t 2 r ( t )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, então vamos começar tirando a primeira derivada:

d d t r t = d d t ( t 2 , e t , t e t )

Para isso vamos derivar uma componente de cada vez:

d d t t 2 , e t , t e t = d d t t 2 , d d t e t , d d t t e t

As duas primeiras componentes tem derivadas bem simples, mas a terceira exige a aplicação da regra do produto:

d d t t . e t = e t d d t t + t d d t e t = e t + t e t = e t ( 1 + t )

E derivando as outras coponentes, chegamos no seguinte:

v t = ( 2 t , e t , 1 + t e t )

Passo 3

Agora vamos derivar essa função mais uma vez para achar a aceleração:

d d t v t = d d t ( 2 t , e t , 1 + t e t )

a t = d d t 2 t , d d t e t , d d t 1 + t e t

a t = 2 , e t , d d t 1 + t e t

Mais uma vez, precisamos aplicar a regra do produto:

d d t 1 + t e t = e t d d t 1 + t + 1 + t d d t e t = e t + 1 + t e t = e t ( 2 + t )

E então a aceleração é:

a t = 2 , e t , e t ( 2 + t )

Resposta

Letra (d).

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