Exercícios Resolvidos de Vetor Aceleração

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.46. questão 11.

Uma estrada tem a configuração da parábola 120 y = x ² . Um caminhão está carregado de tal modo que irá tombar se a componente normal da aceleração exceder 30 . Que valores da velocidade garantirão uma passagem sem desastre pelo vértice da parábola?

Passo 1

O que a questão quer saber são para quais valores da componente normal o caminhão não vai tombar.

Vamos lá, primeiro temos que parametrizar essa parábola ai:

x t = t

y t = 1 120 t ²

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Passo 2

O que o problema nos diz é que a componente normal da aceleração não pode exceder 30, ou seja:

a n < 30

E como podemos obter a componente normal? Por essa fórmula aqui

a 2 = a t 2 + a n 2

Beleza, vamos começar achando o vetor aceleração, a , através da derivada da parametrização!

v t = 1 , t 60

a t = 0 , 1 60

Assim,

a 2 = 1 360 0

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de a t . Para isso, vamos usar essa fórmula aqui

a t = v t '

v t = 1 2 + t 60 2 = 1 60   3600 + t 2

a t = 1 60   3600 + t 2 ' = t 60 3600 + t 2

Passo 4

Ótimo, voltando naquela fórmula do passo 2, vamos ter o seguinte

1 360 = t 2 360 0 3600 + t 2 + a n 2

a n 2 = 1 36 0 0 - t 2 360 0 3600 + t 2 = 3600 + t 2 - t 2 3600 3600 + t 2 = 3600 360 0 3600 + t 2

Portanto,

a n = 1 3600 + t 2

Passo 5

Lembra que ele quer a n < 30 ? Então

1 3600 + t 2 < 30

1 < 30 3600 + t 2

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