Exercícios Resolvidos de Ângulos entre Retas

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Enunciado

Considere as retas r e s de R 2 dadas pelas equações y = 1 4   x - 1 e y = - 1 3 x + 6 respectivamente.

(b) Determine r ∩ s .

(c) Determine o cosseno do ângulo entre as retas r e s .

(d) Determine uma equação paramétrica da reta s ' que é a reflexão da reta s com relação à reta r .

Passo 1

(b) O que ele tá pedindo pra gente quando fala da interseção entre as retas? Os pontos que pertencem tanto a uma quanto a outra.

E como achamos isso? Fazendo um sistema linear!

y = 1 4   x - 1 y = - 1 3 x + 6  

Passo 2

Bora resolver isso aí então, vou igualar as equações:

1 4   x - 1 = - 1 3 x + 6  

1 4 x + 1 3 x = 7

7 12 x = 7

x = 12

Achando agora o y :

y = 1 4   x - 1 ⟹ y = 3 - 1 = 2

Passo 3

(c) Temos uma fórmulinha marota pra achar o cosseno do ângulo entre duas retas:

c o s θ = r → ⋅ s → r → ⋅ s →

Sendo r → e s → os vetores diretores das retas.

Vamos então achar os vetores e aplicar na fórmula.

y = 1 4   x - 1

x , y = x 1 , 1 4 + ( 0 , - 1 )

Logo temos que r → = 1 , 1 4 .

y = - 1 3 x + 6

x , y = x 1 , - 1 3 + 0,6

Assim, temos que s → = 1 , - 1 3

c o s θ = r → ⋅ s → r → ⋅ s → ⟹ c o s θ = 1 , 1 4 ⋅ 1 , - 1 3 1 2 + 1 4 2 ⋅ 1 2 + - 1 3 2

c o s θ = - 11 12 17 16 ⋅ 10 9 = - 11 12 170 12 = 11 170

Passo 4

(d) Gente, podemos usar a fórmula de reflexão de um vetor u na direção v :

R e f u v = 2 P r o j u v - u

Sendo que P r o j u v = u ∙ v v ∙ v v .

Você deve tá pensando, cara, mas não tão pedindo reflexão em reta?? Por que estamos falando de vetores?

De novo vamos pegar os vetores diretores!

Passo 5

Vamos aplicar isso aí então, sendo r → = 1 , 1 4 e s → = 1 ,   - 1 3 :

R e f s → r → = 2 s → ∙ r → r → ∙ r → r → - s → = 2 1 , 1 4 ∙ 1 ,   - 1 3 1 , 1 4 ∙ 1 , 1 4 1 , 1 4 - 1 ,   - 1 3

2 11 12 17 16 1 , 1 4 - 1 ,   - 1 3 = 37 51 , 39 51

Para finalizar é só achar um ponto, vou usar o de interseção das retas, 12,2 ‼

s ' = 12,2 + t 37 51 , 39 51 | t ∈ R

Passo 6

Resposta

(b) 12,2

(c) 11 170

(d)   s ' = 12,2 + t 37 51 , 39 51 | t ∈ R

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