Exercícios Resolvidos de Ângulos entre Retas

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Enunciado

A reta

r : x = 1 + 2 t y = t z = 3 - t

Forma um ângulo de 60 ° com a reta determinada pelos pontos A 3 ,   1 ,   - 2 ,   B ( 4 ,   0 ,   m ) .

Calcular o valor de m .

Passo 1

Como já sabemos, precisamos dos vetores diretores das duas retas.

Do enunciado tiramos o vetor diretos da primeira reta,

r → = ( 2 ,   1 ,   - 1 )

Para calcular o vetor diretor da segunda reta, faremos:

B - A = 4 ,   0 ,   m - ( 3 ,   1 ,   - 2 )

B A → = ( 1 ,   - 1 ,   m + 2 )

Passo 2

Agora que já descobrimos todas as informações, podemos calcular o produto escalar!

r → ∙ A B → = 2,1 , - 1 ∙ 1 ,   - 1 ,   m + 2

r → ∙ A B → = 2 × 1 + 1 × - 1 + ( - 1 ) × ( m + 2 )

r → ∙ A B → = 1 - m - 2

r → ∙ A B → = - 1 - m

Agora vamos calcular os módulos!

r → = 2 2 + 1 2 + ( - 1 ) 2 = 6    

A B → = 1 2 + - 1 2 + m + 2 2

A B → = 2 + m 2 + 4 m + 4 = m 2 + 4 m + 6

O enunciado nos disse que θ = 60 ° e cos ⁡ 6 0 ° = 1 2

Substituindo os valores na fórmula,

cos ⁡ θ = r → 1 ∙ r 2 → r → 1 | r 2 → |

1 2 = - 1 - m 6 × m 2 + 4 m + 6

1 2 = - 1 - m 6 m 2 + 24 m + 36

Elevando os dois lados ao quadrado (para eliminar as raízes)

1 4 = 1 + 2 m + m 2 6 m 2 + 24 m + 36

6 m 2 + 24 m + 36 = 4 + 8 m + 4 m 2

2 m 2 + 16 m + 32 = 0

Dividindo tudo por 2 (para facilitar um pouco as contas)

m 2 + 8 m + 16 = 0

m + 4 2 = 0

Logo, m = - 4

Resposta

m = - 4

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