Exercícios Resolvidos de Ângulos entre Retas

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Enunciado

Seja L um paralelogramo com todos os lados de tamanho 1 . As diagonais de L possuem tamanhos 2 + 3   e 2 - 3 , assinale o valor do menor ângulo interno de L :

  1. 60 °
  2. 15 °
  3. 45 °
  4. 30 °

Passo 1

Belezinha galera, se a gente fosse desenhar esse paralelogramo, teríamos mais ou menos isso aqui:

Onde os lados são iguais a 1 , a diagonal maior em vermelho mede 2 + 3 , e a diagonal menor em verde mede 2 - 3 . O menor ângulo, é aquele formado em θ . Logo, podemos montar um triângulo com a diagonal menor e os lados de L :

E agora a gente pode aplicar a Lei dos Cossenos nesse triângulo, onde a diagonal menor é o lado oposto ao ângulo θ , então:

2 - 3 2 = 1 2 + 1 2 - 2 1 1 cos ⁡ θ

2 - 3 = 2 - 2 cos ⁡ θ

2 cos ⁡ θ = 3

cos ⁡ θ = 3 2

Logo, nosso ângulo vale 30 ° . Resposta certa, letra (d).

Resposta

Letra (d).

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Determinar o ângulo que a reta que passa por A = ( 3 , - 1,4 ) E B = ( 1,3 , 2 ) forma com a sua projeção sobre o plano x y .
Determinar o ângulo entre as seguintes retas:a) r 1 : x = - 2 - t y = t z = 3 - 2 t e r 2 : x 2 = y + 6 1 = z - 1 1 b) r 1 : y = - 2 x + 3 z = x - 2 e r 2 : y = z + 1 - 1 ; x = 4 c) r 1 : x = 1 + 2 t
Determinar o ângulo entre as seguintes retas:a) r 1 : x = - 2 - t y = t z = 3 - 2 t e r 2 : x 2 = y + 6 1 = z - 1 1 b) r 1 : y = - 2 x + 3 z = x - 2 e r 2 : y = z + 1 - 1 ; x = 4 c) r 1 : x = 1 + 2 t
Determinar o valor de n para que seja de 30 ° o ângulo entre as retasa) r 1 : x - 2 4 = y 5 = z 3 e r 2 : y = n x + 5 z = 2 x - 2 b) r 1 : y = n x - 1 z = 2 x e r 2 : eixoO y