Exercícios Resolvidos de Ângulos entre Retas

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Enunciado

Sejam a ,   b ,   ∈ R e considere as retas:

r :   x   + a y   -   z   = 1   ∩   2 x   - 3 a y   + 2 z   = 5

s :   x   + y   -   b z   = 0   ∩   3 x   - 2 y   + b z   = 1

então r   e   s   são ortogonais se, e somente se:

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é descobrir para quais os valores de a   e   b as retas r   e   s   são perpendiculares. Mas as retas estão dadas como a interseção de dois planos, então precisamos obter os vetores diretores dessas retas. Mão a massa

Passo 2

Vamos começar pela reta r . Para obtermos o vetor diretor dessa reta, precisamos descobrir quais pontos x , y , z satisfazem o sistema de equações abaixo

  x   + a y   -   z   = 1

2 x   - 3 a y   + 2 z   = 5

(Vamos escolher x como a variável pivô)

(multiplicando a primeira por 2 e somando com a segunda)

4 x   - a y   = 7

⇒ y   = 7 / a   -   4 x / a

(vamos calcular z)

(multiplicando a primeira equação por 3 e somando com a segunda

5 x   - z   =   8

⇒ z   =     - 8   + 5 x

Pronto, temos y ,   e   z em função de x . Como construímos nossa reta a partir desses dados?

Vamos lembrar que uma reta é da forma ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 )   +   ( a , b , c ) t . Então podemos reescrever as equações que obtemos como:

( x , 7 / a   + 4 x / a ,   - 8   + 5 x )   =   ( 0 ,   7 / a ,   - 8 )   +   ( 1 ,   4 / a ,   5 ) t

Ufa, calculamos nossa reta r agora vamos obter s .

Passo 3

Para descobrirmos quem é a reta s precisamos resolver os sistema.

  x   + y   -   b z   = 0

3 x   - 2 y   + b z   = 1

(vamos fazer x de pivô)

(somando as equações temos)

4 x   - y   =   + 1

⇒ y   =   4 x - 1

(vamos obter z)

(multiplicando a primeira equação por 2 e somando com a segunda)

5 x   - b z   =   1

⇒ z   = 5 x / b   -   1 / b

O que nos gera a reta:

s :   ( 0 ,   - 1 ,   - 1 / b )   +   ( 1,4 , 5 / b ) t

Prontinho, agora temos as duas retas escritas de uma forma mais familiar

Mas vamos lembrar que o que queremos verificar são as condições para que essas duas retas sejam perpendiculares.

Passo 4

Mas e aí? Como verificamos se duas retas são ortogonais?

Usamos o produto interno!!! Mas onde vamos usar? nos vetores diretores das retas!!! Então, para r   e   s serem ortogonais precisamos que:

< ( 1 ,   4 / a ,   5 ) , ( 1 ,   4 ,   5 / b ) >   =   0

então:

1   +   16 / a   +   25 / b   =   0

⇒ a b / a b   +   16 b / a b   +   25 a / a b   =   0

⇒ a b   +   16 b   +   25 a   =   0

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a b   +   16 b   +   25 a   =   0

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