Exercícios Resolvidos de Ângulos entre Retas

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Enunciado

Obtenha os vértices B e C do triângulo equilátero A B C , sendo A = ( 1 ,   1 ,   0 ) e sabendo que o lado B C está contido na reta r de equação vetorial X = 0 ,   0 ,   0 + λ ( 0 ,   1 ,   - 1 ) .

Passo 1

O enunciado nos pede para descobrirmos as coordenadas dos pontos B e C . Para isso ele nos dá algumas informações!! Diz que A ,   B e C são vértices de um triângulo equilátero, ou seja, os Ângulos são de 60 ° . Dá que o ponto A possui coordenadas   A = ( 1 ,   1 ,   0 ) . Além disso, fala que os ponto B e C pertencem à reta r que possui equação vetorial X = 0 ,   0 ,   0 + λ ( 0 ,   1 ,   - 1 ) . Então, podemos montar a seguinte figura:

Passo 2

Vimos na teoria como encontrar o ângulo entre duas retas, certo? Então, vamos utilizar isso a nosso favor!! Mas, como?

Bem, o ângulo entre a reta r e a reta que forma o lado dos pontos A e B sabemos que vale 60 ° . Além disso, temos o vetor diretor de r e conseguimos o vetor diretor da reta que contém A e B , pois o próprio vetor A B → , é diretor da reta. Assim, descobriremos as coordenadas de B .

Mas, antes, tem um detalhe importantíssimo, sem ele não resolvemos o problema!!

Como B pertence à reta r , então o formato geral de B por meio da equação vetorial da reta r é:

B = ( 0 ,   λ , - λ )

Vamos começar então!!

r → = ( 0 ,   1 ,   - 1 )

A B → = B - A = ( 0 ,   λ , - λ ) - 1 ,   1 ,   0 = ( - 1 ,   λ - 1 ,   - λ )

Passo 3

A fórmula do ângulo entre retas é:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → |

Então, vamos calcular o módulo do produto interno, os módulos e o cos ⁡ θ :

cos ⁡ 60 ° = 1 2

r → ∙ A B → = 0 ,   1 ,   - 1 ∙ - 1 ,   λ - 1 ,   - λ = | 2 λ - 1 |

r → = 1 2 + ( - 1 ) 2 = 2

s → = ( λ - 1 ) 2 + ( - λ ) 2 + ( - 1 ) 2 = 2 λ 2 - 2 λ + 2

Substituindo na fórmula temos:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → | → 1 2 = 2 λ - 1 2 2 λ 2 - 2 λ + 2

2 2 λ 2 - 2 λ + 2 = 2 2 λ - 1

Elevando os dois lado ao quadrado:

2 2 λ 2 - 2 λ + 2 = 4 ( 2 λ - 1 ) 2

4 λ 2 - 4 λ + 4 = 16 λ 2 - 16 λ + 4

12 λ 2 - 12 λ = 0 →   λ 2 - λ = 0

λ λ - 1 = 0

λ = 0         o u           λ = 1

Passo 4

Como temos dois valores de λ = 0 ou     λ = 1 ,   acabamos descobrindo os dois pontos B e C :

Assim, os dois pontos são:

B = 0 ,   0   ,   0         e           C = 0 ,   1 ,   - 1

Resposta

B = 0 ,   0   ,   0         e       C = 0 ,   1 ,   - 1

o u

C = 0 ,   0   ,   0         e       B = 0 ,   1 ,   - 1

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