Exercícios Resolvidos de Ângulos entre Retas

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Enunciado

Sejam dados os pontos A = ( 1 ,   0 ,   1 ) , B = ( 4 ,   - 3 ,   - 2 ) e C = ( 3 ,   3 ,   1 ) . Mostre que A , B e C não são colineares e escreva uma equação vetorial para a reta r que contém a altura do triângulo A B C relativa ao vértice A .

Passo 1

Se formarmos dois vetores com esses pontos:

A B → = B - A = ( 3 ,   - 3 ,   - 3 )

A C → = C - A = ( 2 ,   3 ,   0 )

Para que os pontos A , B e C sejam colineares, esses vetores deveriam ser paralelos, ou seja, deveria existir um α tal que

3 ,   - 3 ,   - 3 = α ( 2 ,   3 ,   0 )

2 α = 3 3 α = - 3 0 α = - 3

Da primeira linha temos que α = 3 2 , mas da segunda linha temos que α = - 1 , o que é um absurdo né? Logo, não existe α que satisfaça esse sistema e portanto os vetores A B → e A C → não são paralelos.

Loogo, os pontos A , B e C não são colineares.

Passo 2

Seja v → o vetor diretor da reta r .

Seja um vetor n → = A B → ∧ A C → . Esse vetor, pela regra da mão direita, vai ser perpendicular ao plano em que se encontra o triângulo A B C e consequentemente perpendicular a v → .

Além disso, como v → é a altura do triângulo relativa ao vértice A , ele vai ser perpendicular à face oposta, ou seja, perpendicular a B C → .

Então, novamente pela regra da mão direita, v → vai ser paralelo ao vetor resultante de n → ∧ B C → .

Passo 3

Simm, eu sei que ta meio abstrato de entender. Mas olha, vamos encontrar o vetor n → = A B → ∧ A C →

i ^ j ^ k ^ 3 - 3 - 3 2 3 0 = 9 i ^ - 6 j ^ + 15 k ^ = ( 9 ,   - 6 ,   15 )

Por enquanto temos isso, sendo n → o vetor preto

Passo 4

Agora vamos encontrar o vetor B C →

B C → = C - B = ( - 1 ,   6 ,   3 )

Fazendo o produto vetorial n → ∧ B C → (repare que vamos dividir a segunda linha por 3 para facilitar o cálculo)

i ^ j ^ k ^ 9 - 6 15 - 1 6 3 = i ^ j ^ k ^ 3 - 2 5 - 1 6 3 = - 36 i ^ - 14 j ^ + 16 k ^ = - 36 ,   - 14 ,   16 = 2 ( - 18 ,   - 7 ,   8 )

Logo, o vetor v → é paralelo a ( - 18 ,   - 7 ,   8 ) , que é um vetor diretor da reta r .

Na imagem abaixo, ( - 18 ,   - 7 ,   8 ) é o vetor verde

Passo 5

Como a reta r passa pelo ponto A = ( 1 ,   0 ,   1 ) e tem ( - 18 ,   - 7 ,   8 ) como vetor diretor, sua equação vetorial vai ser

X = 1 ,   0 ,   1 + λ ( - 18 ,   - 7 ,   8 )

Resposta

X = 1 ,   0 ,   1 + λ ( - 18 ,   - 7 ,   8 )

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