Exercícios Resolvidos de Associação de Molas

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Enunciado

Um bloco de massa M , em repouso numa mesa horizontal sem atrito, é ligado a um suporte rígido por duas molas de constante elástica k 1 e k 2 . Uma bala de massa m e velocidade v atinge o bloco como mostrado na figura abaixo.

Este sistema de duas molas da figura acima é equivalente a um sistema composto por apenas uma mola cuja constante elástica vale: k e f = k 1 + k 2

  1. Deduza a expressão k e f = k 1 + k 2 .
  2. Agora, considere k 1 = k 2 / 2 e determine em função de M , m , v :

  3. A velocidade do bloco imediatamente após a colisão.

Passo 1

a)

Vamos deduzir partindo da força resultante que as duas molas fazem sobre o bloco:

F R = F 1 + F 2

Sendo:

F 1 = k 1 x 1

F 2 = k 2 x 2

F R = k e f x e f

Logo:

k e f x e f = k 1 x 1 + k 2 x 2

Beleza! Mas será que existe uma relação entre os " x" s?

Bom, como o bloco não tomba nem vai se deslocar torto, o deslocamento de cada mola deve ser igual, lembra? Vamos dar uma olhada na figura:

Caso x 1 > x 2 a caixa tombaria pra frente, por exemplo. Logo:

x 1 = x 2 = x e f = x

O deslocamento da força resultante também deve ser igual. Isso acontece por que o significado da associação de molas nos diz que as duas molas poderiam ser substituídas por uma única mola cuja constante é a constante resultante.

E qual seria o deslocamento dessa mola? Fica claro que deveria ser o mesmo que o das duas molas, não é?

Logo:

k e f x e f = k 1 x 1 + k 2 x 2

k e f x = k 1 x + k 2 x

k e f = k 1 + k 2

Passo 2

b)

Vamos resolver essa parte usando a conservação de momento do sistema. O momento se conserva já que se trata de uma colisão.(:

Antes da colisão, a bala tinha velocidade v e o bloco tinha velocidade nula, logo, o momento inicial é:

Q i = m v + M . 0 = m v

Após a colisão, tanto o bloco quanto a bala se deslocam com a mesma velocidade v 2 :

M v 2 + m v 2 = Q f

Como Q i = Q f :

v 2 M + m = m v

v 2 = m v M + m

E essa é a velocidade do bloco logo após a colisão!

Resposta

a)

Demonstração.

b)

v 2 = m v M + m

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