Exercícios Resolvidos de Associação de Molas

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Enunciado

Considere um sistema como o da figura ao lado, composto pro três molas idênticas( com constantes ( k = 150   N / m ) de massas desprezíveis e uma polia, também de massa desprezível. Inicialmente o sistema está em equilíbrio na posição 0 . Em um determinado momento, uma massa m é conectada a uma das molas, deslocando o sistema do valor y 0 . Logo desta massa há um dispositivo sensível ao toque que acende uma lâmpada de cada vez que é tocado pela massa. Despreze quaisquer efeitos de atrito no sistema. Supondo que a distância entre a posição de equilíbrio da massa e a superfície do dispositivo sensível ao toque é de 10 c m e que, para dar início ao movimento, você simplesmente encosta a massa no dispositivo e libera o sistema, calcule:

  1. A posição de equilíbrio y 0 .
  2. A equação do movimento resultante da massa m .
  3. A solução da equação do movimento da massa m .
  4. O valor que deve ser escolhido para a massa m para que a lâmpada acenda uma vez a cada 0,4 π segundos.
  5. O trabalho realizado sobre o sistema em equilíbrio para dar início ao movimento descrito no item b ) .

Passo 1

a):

Bom galera, aqui a gente precisa reconhecer que ali tem uma associação de molas: Tanto em paralelo quanto em série.

Primeiro há uma associação em paralelo. Em associações assim, a gente soma as constantes das molas:

k r e s 1 = k + k = 2 k

Depois existe uma associação em série. Nesse caso, usamos a soma dos inversos:

1 k r e s 2 = 1 k 1 + 1 k 2 = 1 2 k + 1 k = 3 2 k   → k r e s 2 = 2 k 3

Bom, pra achar agora a posição de equilíbrio y 0 , basta a gente perceber que na posição de equilíbrio, a mola equilibra o peso. Assim, esse y 0 é a elongação que a mola possui e que gera essa força de equilíbrio. Assim:

k r e s 2 y 0 = P = m g → y 0 = m g k r e s 2 = m g 2 k 3 = 3 m g 2 k = 0,1 m

y 0 = 0,1 m

Passo 2

b):

Como estamos falando de um MHS não amortecido, a equação diferencial do movimento segue o modelo dos MHS, que a gente acha usando a segunda lei de Newton(como sempre!):

m a = m g - k r e s 2 y

Sendo a = y ¨ :

m y ¨ = m g - k r e s 2 y

m y ¨ = k r e s 2 m g k r e s 2 - y

Ai a gente pode lembrar da letra a) ( y 0 = m g k r e s 2 ) :

m y ¨ = k r e s 2 y o - y → y ¨ + k r e s 2 m y - y 0 = 0

y ¨ + ω 0 2 y - y 0 = 0

Passo 3

c):

Usando a equação de b), podemos fazer a substituição Y t = y t - y 0 . Então a solução pra y ( t ) segue o modelo padrão e é:

Y t = A c o s ω 0 t + φ

Lembrando que:

ω 0 2 = k r e s 2 m = 2 k 3 m → ω 0 = 2 k 3 m

Precisamos achar A e φ .

Bom, o enunciado nos diz que a distância entre a posição de equilíbrio e a mesa é cerca de 10 c m .Vamos considerar que a massa inicia seu movimento colada com a mesa. Então, considerando como zero a posição de equilíbrio, a massa inicia seu movimento na posição de 10 c m . Então:

Y 0 = y t - y 0 = A c o s φ = 0,1 m

Derivando Y t :

Y ˙ t = - ω 0 s e n ω 0 t + φ

Como ela inicia o movimento em repouso, Y ˙ 0 = 0 . Então:

- ω 0 s e n φ = 0   → s e n φ = 0 → φ = 0

Substituindo na equação da amplitude:

A c o s 0 = 0,1   → A = 0,1 m

Então a equação vai ser:

Y t = 0,1 cos ⁡ 2 k 3 m t

Como k = 150 :

Y t = 0,1 cos ⁡ 2.150 3 m t = 0,1 cos ⁡ 10 m t

Show! Agora é só voltar para y t

Y t = y t - y 0 → y t = Y t + y 0

y t = 0,1 cos ⁡ 10 m t + 0,1 m

Passo 4

d):

“Uma vez a cada 0,4 π segundos.” Significa que o período será T = 0,4 π s . Po, mas a gente sabe muito bem as relações entre período e velocidade angular:

ω 0 = 2 π T ↔ T = 2 π ω 0 = 2 π 10 m = m π 5

Então:

m π 5 = 0,4 π ↔ m = 5 x 0,4 2 = 4 k g

m = 4 k g

Passo 5

e):

Bom, o trabalho a gente costuma fazer assim: W = ∫ F e l d x , não é mesmo? NÃAAO!

A gente ate faz isso, mas vamos fazer de uma forma simples. Da mecânica, a gente sabe que o trabalho de uma força é igual à variação de energia potencial da mola:

W = k x 2 2 2 - k x 1 2 2

Sendo x 1 = 0 e x 2 = 0,1 :

W = k 0,1 2 2 = 2 3 . 150.1 2 . 0,1 2 = 0,5 J

Resposta

a):

y 0 = 0,1 m

b): y ¨ + ω 0 2 y - y 0 = 0

c):

y t = 0,1 cos ⁡ 10 m t + 0,1 m

d):

m = 4 k g

e):

W = 0,5 J

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