Exercícios Resolvidos de Campos Cruzados

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Enunciado

Uma barra de comprimento a ocupa uma região onde há um campo magnético constante (estacionário e uniforme) B → . A barra gira com velocidade angular ω → , em torno de um ponto fixo em uma de suas extremidades, em um plano perpendicular ao campo. Qual é o módulo da tensão ou da diferença de potencial que acaba se estabelecendo entre as extremidades da barra?

  1. ω a 2 B / 4
  2. 2 ω a 2 B
  3. ω a 2 B
  4. ω a 2 B / 2
  5. 2 π ω a 2 B
  6. π ω a 2 B
  7. 0

Passo 1

Desenhando a situação, lembrando que ele não deu o sentido do campo B → , somente deu a direção que é perpendicular ao plano da barra, vamos chutar um sentido qualquer para este vetor:

Vamos estudar as partículas positivamente carregadas da barra para não nos preocuparmos com sinal. Elas vão ser aceleradas pela força magnética e vão se mover para alguma das extremidades da barra:

F → = q v → × B →

Passo 2

Vamos agora tentar avaliar pra onde vai ser o sentido da força. Como cada partícula tem uma velocidade v → , lembrando que a velocidade é tangente à trajetória, sabemos que a força aponta para a extremidade O :

Passo 3

Agora vamos ter um acúmulo de cargas positivas na extremidade O da barra. Por conta desse acúmulo de cargas de mesmo sinal, elas começam a se empurrar no sentido oposto por causa da força elétrica, até que num dado momento a força elétrica fica tão grande que elas param de ser empurradas para qualquer lado pois entraram em equilíbrio.

Ou seja, as forças opostas se igualam. Seja Q o acúmulo de cargas em um ponto arbitrário. Segue que os módulos das forças elétrica e magnética se igualam:

Q E = Q v B

E = v B

Onde v é a velocidade em um ponto arbitrário.

Passo 4

Sabemos que, por aquela relação matemática que a gente nunca lembra mas eu tenho a Wikipédia aqui aberta, a velocidade é igual à:

v = ω r

E = ω r B

Como temos o campo elétrico, podemos calcular a diferença de potencial:

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

Como o enunciado quer o módulo, ignoramos sinais. Pegando uma trajetória retilínea entre as extremidades, temos:

E → ∙ d r → = E d r

A variável r , portanto, varia ao longo da barra, e vai do ponto fixo até a outra extremidade.

Passo 5

Substituindo o campo elétrico na integral:

Δ V = ∫ C ω r B d r

Δ V = ω B ∫ 0 a r d r

Δ V = ω B r 2 2 0 a

Segue que:

Δ V = ω a 2 B 2

Obs.: Essa questão é considerada difícil!

Resposta

Letra d

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