Exercícios Resolvidos de Campos Cruzados

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Enunciado

A figura abaixo mostra a trajetória de uma partícula de massa m e carga q que passa por uma região de campo magnético uniforme (acinzentada), onde ela descreve uma semicircunferência de raio r .

Depois de sair da região a partícula passa por entre duas placas paralelas eletricamente carregadas e é desviada no sentido da placa de maior potencial.

a Qual é o sinal de q ? Justifique.

b Sabendo que a partícula entra na região de campo magnético uniforme com uma velocidade v , qual é o vetor campo magnético na região acinzentada?

c Calcule o vetor força magnética exercida sobre a partícula nos pontos P e Q ;

d Se a intensidade do campo elétrico na região entre as placas paralelas é E , qual deveria ser o vetor campo magnético nessa região, para que a partícula não fosse desviada?

Passo 1

a Qual é o sinal de q ? Justifique.

O enunciado nos diz que, ao passar entre as placas paralelas, a partícula é desviada para a placa de maior potencial.

Assim, para ser desviada para a placa de maior potencial, a carga q deve ser negativa.

Passo 2

b Sabendo que a partícula entra na região de campo magnético uniforme com uma velocidade v , qual é o vetor campo magnético na região acinzentada?

Ao longo da trajetória circular, a força magnética aponta sempre para o centro da trajetória. Assim, pegando o ponto assim que a partícula entra na região de campo magnético uniforme, temos que:

Sabendo que a força magnética sobre a partícula é dada por:

F → B = q . v → × B →

Como a partícula é negativa, o produto vetorial v → × B → deve apontar no sentido contrário ao da força magnética.

Assim, utilizando a regra da mão direita, onde o dedo indicado representa a velocidade v → e o dedo polegar indica o sentido de v → × B → , o campo magnético deve ter o sentido + z ^ .

Agora precisamos determinar a expressão para o módulo do campo magnético.

Passo 3

O raio da trajetória circular é dada por:

r = m v q B

Reorganizando os termos, temos que:

B = m v q r

Finalmente, o vetor campo magnético é dado por:

B → = m v q r   z ^

Passo 4

c Calcule o vetor força magnética exercida sobre a partícula nos pontos P e Q ;

No ponto P , o vetor velocidade é dado por:

v → = v   - y ^

Assim, a força magnética será dada por:

F → B = q . v → × B →

F → B = - q . - v   y ^ × m v q r   z ^

F → B = m v 2 r x ^

Passo 5

No ponto Q , o vetor velocidade é dado por:

v → = v cos ⁡ 45 ° x ^ - sen ⁡ 45 ° y ^

v → = v 2 2 x ^ - 2 2 y ^

v → = 2 2 v x ^ - y ^

Assim, a força magnética será dada por:

F → B = q . v → × B →

F → B = - q . 2 2 v x ^ - y ^ × m v q r   z ^

F → B = 2 m v 2 2 r x ^ + y ^

Passo 6

d Se a intensidade do campo elétrico na região entre as placas paralelas é E , qual deveria ser o vetor campo magnético nessa região, para que a partícula não fosse desviada?

O vetor campo magnético deve gerar uma força contrária à força elétrica, ou seja, no sentido - y ^ . Como estamos trabalhando com uma carga negativa, o produto vetorial v → × B → deve ter o sentido + y ^ .

Assim, utilizando a regra da mão direita, onde o dedo indicado representa a velocidade v → e o dedo polegar indica o sentido de v → × B → , o campo magnético deve ter o sentido - z ^ .

Já o módulo do campo magnético está associado ao campo elétrico da seguinte forma:

F B = F E

q . v . B = q . E

B = E v

Finalmente:

B → = E v - z ^

Resposta

a Negativa.

b B → = m v q r   z ^

c

Ponto P :

F → B = m v 2 r x ^

Ponto Q :

F → B = 2 m v 2 2 r x ^ + y ^

d

B → = E v - z ^

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