Exercícios Resolvidos de Campos Cruzados

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Enunciado

A Figura abaixo indica uma placa de prata com dimensões y 1 = 0,23   m m e z 1 = 11,8   m m e que produz uma corrente igual a 120   A no sentido + x . A placa está em repouso em um campo magnético uniforme na direção y , cujo módulo é igual a B = 0,95   T . Sabendo que existem n = 5,85   ×   10 28 elétrons livres por metro cúbico, determine:

  1. o módulo da velocidade de arraste dos elétrons na direção do eixo O x ;
  2. o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no eixo O z produzido pelo efeito Hall ;
  3. a fem Hall.

Passo 1

a) Como a gente viu na teoria, a densidade de corrente J x na direção x é dada por

J x = n q v d   .

Por outro lado, sabemos também que a densidade J x é a corrente por unidade de área. Por isso, podemos escrever também que

J x = n q v d = I A   ⇒ v d = I y 1 z 1 n q     ,

onde já usamos que a área por onde os elétrons fluem é A = y 1 z 1 , como está se pode ver na Figura, já que a corrente I flui na direção e sentido do eixo O x .

Convertendo os valores necessários pro SI

y 1 = 0,23 m m = 0,23 × 10 - 3 m

z 1 = 11,8 m m = 11,8 × 10 - 3 m

E lembrando que a carga do elétron é

q = 1,6 × 10 - 19 C

Colocando os valores dados no enunciado, temos

v d = 120 11,8 × 10 - 3 × 0,23 × 10 - 3 × 5,85 × 10 28 × 1,6 × 10 - 19  

  v d = 4,72   ×   10 - 3   m s .

Passo 2

b) Como os elétrons estão caminhando na direção e sentido do eixo O x , então, a velocidade de arraste está na direção contrária, isto é,

v → = v d ( -   i ^ )   .

Como o campo magnético é   B → = 0,95     j ^ e a carga dos elétrons é negativa, temos que a força magnética é dada por

F → M = - q   v → × B → = - q v d B   ( - i ^ ) × j ^ ⇒ F → M = q v d B + k ^ .

Portanto, a força magnética está ao longo do eixo + O z . Nesse caso, então, a força elétrica deve estar no sentido do eixo – O z . Como a força elétrica sobre os elétrons é dada por   F → E = - e   E → e essa força tem que ser igual a   F → E = | e | E ( - k ^ ) , o vetor campo elétrico tem que estar na direção do eixo + O z .

Para encontrarmos o módulo de   E → , temos que igualar a força elétrica com a força magnética. Isso dá para a gente o seguinte

E = v d B = 4,5   ×   10 - 3     V m     .

O vetor campo elétrico é

E → = 4,5   ×   10 - 3 V m   + k ^   .

Passo 3

c) Para fechar, a fem Hall, que está ao longo do eixo O z e é uma espécie de ddp ao longo da barra nessa direção, é dada por

ε H a l l = E → z 1 = 4,5   ×   10 - 3 V m ×   0,0118   m =   53   μ V   .

Resposta

a)

  v d = 4,72   ×   10 - 3   m s .

b)

E → = 4,5   ×   10 - 3 V m   + k ^   ;

c)

ε H a l l = 53   μ V   .

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