Exercícios Resolvidos de Campos Cruzados

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Enunciado

Q 1 - A figura ao lado mostra um modelo do chamado filtro de velocidades. Nele, uma fonte de

partículas de massa m e carga elétrica q gera um feixe que é colimado por uma abertura. Esse feixe atravessa uma região do espaço que contém campos elétrico, E , e magnético, B , constantes e uniformes, de tal modo que apenas as cargas com determinado valor de velocidade v 0 , conseguem atravessar o filtro em trajetória retilínea e uniforme. A ideia do filtro de velocidades é que as cargas que tenham velocidades maiores ou menores que v 0

irão se defletir por causa da ação dos campos elétrico e magnético e vão se chocar com as placas positiva ou negativa do sistema. Mas como a figura mostra (através de linhas curvas grossas), algumas cargas com velocidade v ≠ v 0 , embora se defletam, não colidem com as placas e conseguem sair do filtro de velocidades. Se um anteparo for colocado próximo à saída do filtro de velocidades, ele mostrará uma mancha cuja largura vai corresponder a uma incerteza ou imprecisão, ∆ v = v - v 0 , da medida do filtro de velocidades. (Para facilitar os cálculos, considere que para as cargas que tenham v ≠ v 0 e conseguem sair do filtro de velocidades, a força resultante sobre elas é apenas ao longo da direção y e que ∆ v é pequeno o suficiente de modo que a componente da velocidade na direção x é v x ≈ v 0 , para obter um resultado aproximado).

a ) Obtenha uma expressão para ∆ v em função apenas das propriedades da partícula carregada, m e q , dos campos elétrico e/ou magnético, da velocidade v 0 e dos parâmetros geométricos do filtro de velocidades (ver na figura).

b ) Supondo que você possa mudar os valores da intensidade dos campos elétrico e magnético, qual dos dois campos (ou os dois) você mudaria, e de quanto você os mudaria, para que ∆ v diminua de 20% e a velocidade v 0 se mantenha a mesma? Explique.

Passo 1

Vem comigo que a gente acaba com essa questão!

A essência desse problema é achar uma expressão para Δ v , então temos que achar quem é v e quem é v 0 .

Para isso temos que notar que dentro desse filtro de velocidades existe duas forças atuando na partícula. Uma é a força elétrica, dada por:

F → = q E →

Que em módulo é:

F = q E

Que aponta na mesma direção do campo elétrico. A outra força é a força magnética dado por:

F → = q v → × B →

Que em módulo é dada por:

F = q v B

E essa força aponta para cima nesse caso.

Sabendo disso, vamos atrás do que precisamos.

Passo 2

A velocidade v 0 é que a partícula precisa ter para atravessar o filtro sem sofrer deflexão.

Para que ela não sofra deflexão a força elétrica deve ser igual a força magnética, e vamos conseguir tirar a velocidade disso já que a força magnética depende de v , assim temos que:

q E = q v 0 B

⇒ v 0 = E B

Então essa é a velocidade v 0 para a partícula não sofrer deflexão.

Passo 3

Agora vamos atrás da velocidade v , para achar essa velocidade podemos tanto considerar que a partícula foi mandada para cima como para baixo, já que o caminho que ela faz é o mesmo.

Vamos considerar que ela foi jogada para cima, assim temos que a força magnética é maior que a elétrica, gerando uma força resultante, assim temos que:

m a = q v B - q E

a = q B m v - q E m

Com isso vamos usar a equação da posição para quando temos uma aceleração, assim temos:

s = s 0 + v 0 t + a t 2 2

Onde s - s 0 = y 0 e que v 0 = 0 é a velocidade inicial na direção y , não podemos esquecer que mesmo sendo a uma equação para a direção y , a velocidade v da partícula é a velocidade com que ela entra no filtro que é a na direção x , assim temos que:

y 0 = q B m v - q E m t 2 2

Então temos que saber o tempo que a partícula leva para atravessar o filtro.

Passo 4

Segundo o enunciado para facilitar as contas podemos considerar a velocidade na direção x como sendo v 0 , então usando a equação da posição para um movimento sem aceleração temos:

s = s 0 + v 0 t

⇒ l = E B t

Assim temos que:

t = B l E

Substituindo no que encontramos no passo anterior, temos:

y 0 = q B m v - q E m 1 2 B l E 2

⇒ y 0 = q B 3 l 2 2 m E 2 v - q B 2 l 2 2 m E

⇒ q B 3 l 2 2 m E 2 v = y 0 + q B 2 l 2 2 m E

⇒ v = 2 m E 2 y 0 q B 3 l 2 + E B

Passo 5

Agora que temos v e v 0 , vamos encontrar Δ v , assim temos que:

Δ v = 2 m E 2 y 0 q B 3 l 2 + E B - E B

⇒ Δ v = 2 m E 2 y 0 q B 3 l 2

Passo 6

Agora vamos pensar no que o item ( b ) pede. Ele quer saber como podemos mexer nas intensidades do campo afim de diminuir Δ v em 20   % , mas mantendo v 0 a mesma.

Primeiro, para manter v 0 a mesma com as mudanças nos campos, para isso temos que fazer a mesma mudança nos dois, já que:

v 0 = E B

Então temos que diminuir ou aumentar os campos com o mesmo fator para essa fração se mantenha igual. Agora para termos uma redução de 20   % , temos que:

Δ v ' Δ v = 0,2

Onde Δ v ' é a imprecisão com a redução dos vamos e Δ v é o que já tínhamos, assim:

2 m E 2 ' y 0 q B 3 ' l 2 2 m E 2 y 0 q B 3 l 2 = 0,2

E 2 ' B 3 ' ⋅ B 3 E 2 = 0,2

Supondo que que mexemos em cada campo por um fator n , assim:

E ' = n E

B ' = n B

Assim temos que:

n 2 E 2 n 2 B 3 ⋅ B 3 E 2 = 0,2

1 n = 0,2

⇒ n = 5

Então temos que aumentar nossos campos 5 × para que tenhamos uma redução de 20   % de Δ v .

E com isso finalizamos a questão!

Resposta

( a )

Δ v = 2 m E 2 y 0 q B 3 l 2

( b )

Aumentar os dois campos de forma igual cinco vezes.

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