Exercícios Resolvidos de Caso Avançado

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Enunciado

Determine uma parametrização para o conjunto de todos ( x , y ,   z ) tais que

x 2 a + y 2 b + z 2 c = 1

Onde a ,   b   e c são constantes estritamente positivas.

Passo 1

A equação que queremos parametrizar é parecida com a equação da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 , assim, vamos tentar usar a parametrização parecida com a esférica!

Mas antes de usar a parametrização vamos definir novas variáveis que tornem a nossa equação igual a da esfera, assim:

x ' = x a y ' = y b z ' = z c

Que quando substituímos na equação que queremos parametrizar temos:

x ' 2 + y ' 2 + z ' 2 = 1

Passo 2

Podemos parametrizar a nova equação com coordenadas esféricas. Segue que:

x ' = cos ⁡ θ s e n ϕ y ' = s e n θ s e n ϕ z ' = cos ⁡ ϕ

Com,

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ ϕ ≤ π

Por enquanto a nossa parametrização é:

φ ' θ , ϕ = cos ⁡ θ s e n ϕ ,   sen θ s e n ϕ , c o s ⁡ ( ϕ )

Mas está não é a superfície que estamos buscando!

Passo 3

Agora podemos voltar para as variáveis x ,   y e z  

x ' = c o s θ s e n ϕ = x a y ' = s e n θ s e n ϕ = y b z ' = c o s ϕ = z c

Assim, temos que a parametrização da nossa curva é:

φ θ , ϕ = a c o s θ s e n ϕ ,   b s e n θ s e n ϕ ,   c c o s ϕ

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ ϕ ≤ π

Resposta

φ θ , ϕ = a c o s θ s e n ϕ ,   b s e n θ s e n ϕ ,   c c o s ϕ

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ ϕ ≤ π

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