Exercícios Resolvidos de Caso Avançado

1) Parametrize as superfícies baixo, indicando o domínio dos parâmetros:

f) S : parte do cilindro x 2 + y 2 = 2 y , que fica entre z = 0 e z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Sugiro sempre a você em casos de parametrização como esse, fazer um esboço da superfície que você está trabalhando. Nem precisa ser perfeito, pois é mais para te dar uma noção do que fazer mesmo.

No nosso caso, estamos lidando com a parte do cilindro deslocado, pois...

x 2 + y 2 = 2 y     →         x 2 + y 2 - 2 y = 0

Completando quadrado: y - 1 2 = y 2 - 2 y + 1

x 2 + y - 1 2 - 1 = 0     →

x 2 + y - 1 2 = 1

É um cilindro deslocado em y de raio 1 :

Mas queremos apenas a parte do cilindro que está acima do z = 0 (palno x y ) e abaixo do paraboloide:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, estamos trabalhando com um pedaço de cilindro, então nada mais justo que utilizar uma parametrização “prima” das coordenadas cilíndricas (lembre-se que o cilindro está deslocado em y ):

x = R cos ⁡ θ

y - 1 = R sin ⁡ θ

z = z

Agora tome muito cuidado! Uma superfície, mesmo no espaço, tem duas dimensões, certo? Então ela precisa sempre de dois parâmetros para descrevê-la. No nosso caso, é só o ângulo θ e o próprio z , esse R desaparece virando o raio do cilindro que estamos trabalhando...

R = 1

Logo a parametrização é...

x = cos ⁡ θ

y = 1 + sin ⁡ θ

z = z

Ou, com uma anotação um pouco mais elegante do ponto de vista da matemática...

r → θ ,   z = cos ⁡ θ , 1 + sin ⁡ θ ,   z

Passo 3

Ok, agora nos falta a segunda parte do problema que é encontrar o domínio dos parâmetros: onde eles estão variando.

Bem, como a parametrização é prima das coordenadas cilíndricas, o ângulo θ gira no plano x y ao redor do eixo do cilindro:

Como pode ver na projeção da superfície no plano x y , precisamos de um θ dando uma volta completa:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 4

Enquanto isso, o z varia entre o plano z = 0 e o paraboloide:

0 ≤ z ≤ P a r a b o l o i d e

0 ≤ z ≤ x 2 + y 2

Trocando os termos x ,   y e z pelos parâmetros...

0 ≤ z ≤ cos ⁡ θ 2 + 1 + sin ⁡ θ 2

0 ≤ z ≤ cos 2 ⁡ θ + 1 + 2 sin ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

0 ≤ z ≤ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + 1 + 2 sin ⁡ θ

Como cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 ...

0 ≤ z ≤ 2 + 2 sin ⁡ θ

Resposta

r → θ ,   z = cos ⁡ θ , 1 + sin ⁡ θ ,   z

D :     0 ≤ θ ≤ 2 π

                                      0 ≤ z ≤ 2 + 2 sin ⁡ θ

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