Exercícios Resolvidos de Caso Avançado

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009 – Modificado

Encontre uma parametrização para a superfície obtida girando-se a circunferência abaixo em torno do eixo z :

x - 3 2 + z 2 = 1

Passo 1

Já sabemos que, quando aparecer essa história de rodar uma função em torno de algum eixo, estamos tratando de superfície de revolução né? Essa está rodando em torno do eixo z , portanto vamos colocar aquele fator de giro nos eixos x e y .

O gráfico da nossa superfície de rotação é esse aqui:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para conseguir parametrizar a superfície, precisamos antes obter nosso x ( t ) e z ( t ) certo? Vamos ver a nossa equação da circunferência inicial:

x - 3 2 + z 2 = 1

Pela relação fundamental trigonométrica

cos 2 t + sen 2 t = 1

Temos que

x - 3 = cos t

x ( t ) = 3 + cos t

z 2 = sen 2 t

z t = sen t

Como é o círculo inteiro que está rodando, temos que

0 t 2 π

Passo 3

Agora só falta substituir tudo na fórmula! Como rodamos no eixo z , o fator de giro entra nos eixos x e y , e a nossa parametrização fica assim:

φ t , θ = ( 3 + cos t cos θ , 3 + cos t sen θ , sen t )

Resposta

φ t , θ = ( 3 + cos t cos θ , 3 + cos t sen θ , sen t )

0 t 2 π

0 θ 2 π

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