Exercícios Resolvidos de Caso Avançado

UFRJ, Lista de Parametrização, Questão 4

Parametrize a parte da superfície:

x 2 + y 2 = 2 x

Limitada pelas superfícies:

z = 0

z = x 2 + y 2

Passo 1

Vamos começar reescrevendo esta equação e saber qual é a cara dela!

Reescrevendo a equação da superfície, temos:

x 2 - 2 x + y 2 = 0

Completando o quadrado perfeito: x 2 - 2 x + 1 - 1 + y 2 = 0

Ajeitando a parte dentro dos parênteses, temos

x - 1 2 + y 2 = 1

Ou seja, se trata de um cilindro de raio 1 com centro no ponto 1,0 .

Agora vamos parametrizar e depois achar os limites para equação parametrizada!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Podemos parametrizar a superfície com coordenadas cilíndricas. Então vamos deixar as componentes em x e y em função de seno e cosseno. Fica assim:

x - 1 = r cos ⁡ θ

y = r   sen θ

0 ≤ θ ≤ 2 π .

Substituindo na equação original, podemos achar o r :

r cos ⁡ θ 2 + r   sen θ 2 = 1

r 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1

r 2 = 1 → r = 1

Repara que o parâmetro r sumiu. Pois toda equação multiplicada por 1 é igual a ela mesma. Mas como é uma superfície precisamos necessariamente de dois parâmetros.

Mas fica, tranquilo, como estamos falando de um cilindro no eixo z , podemos deixar o z sendo o próprio parâmetro z e as funções seno e cosseno descrevem a parte circular do cilindro. Logo a parametrização fica assim:

ϕ θ , z = cos ⁡ θ + 1 ,   sen θ , z

Passo 3

Agora podemos começar a pensar nos limites da superfície. O enunciado disse que ela é limitada pelas superfícies:

z = 0

z = x 2 + y 2

Ou seja,

0 ≤ z ≤ x 2 + y 2

Como acabamos de parametrizar, precisamos colocar em função de θ . Já sabemos que r = 1 , então olhando no Passo 1 temos que

x - 1 = cos ⁡ θ → x =   cos ⁡ θ + 1

y = sen θ

Substituindo, ficamos com,

0 ≤ z ≤ 1 + cos ⁡ θ 2 + se n 2 θ

Agora na real já está pronto. Falta só arrumar, mas não é de palhaçada não. Arrumar algebricamente esse tipo de coisa (i.e. limitações da superfície) é algo que vai te ajudar na hora de fazer alguma integral nos próximos capítulos. Arrumando:

0 ≤ z ≤ 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + se n 2 θ

0 ≤ z ≤ 2 + 2 cos ⁡ θ

0 ≤ z ≤ 2 1 + cos ⁡ θ

E encerrou!

Resposta

ϕ θ , z = cos ⁡ θ + 1 ,   sen θ , z

0 ≤ z ≤ 2 1 + cos ⁡ θ

0 ≤ θ ≤ 2 π

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