Exercícios Resolvidos de Caso Avançado

UFRJ, Lista de Parametrização, Questão 4

Parametrize a parte da superfície:

x 2 + y 2 = 2 x

Limitada pelas superfícies:

z = 0

z = x 2 + y 2

Passo 1

Reescrevendo a equação da superfície, temos:

x 2 - 2 x + y 2 = 0

Completando o quadrado perfeito: x 2 - 2 x + 1 - 1 + y 2 = 0

x - 1 2 + y 2 = 1

Ou seja, se trata de um cilindro de raio 1 com centro no ponto 1,0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Podemos parametrizar a superfície com coordenadas cilíndricas. Segue que:

x - 1 = r cos θ

y = r   sen θ

0 θ 2 π .

Aplicando na equação do cilindro:

r cos θ 2 + r   sen θ 2 = 1

r 2 = 1 r = 1

Portanto, o parâmetro r sumiu. Até agora temos que a nossa parametrização ϕ é:

ϕ θ , v = cos θ + 1 ,   sen θ , z θ , v

Ou seja, como é uma superfície precisamos necessariamente de dois parâmetros. Como um deles sumiu, inventamos um outro qualquer z . Como se trata de um cilindro, podemos deixar o z sendo o próprio parâmetro z :

z = z

Logo:

ϕ θ , z = cos θ + 1 ,   sen θ , z

E está parametrizado.

Passo 3

Agora podemos começar à pensar nos limites da superfície. A única coisa que falta agora é deixar os limites em função dos nossos parâmetros, e não das variáveis x e y .

Sabemos que:

0 z x 2 + y 2

Logo, o z tem limites:

0 z 1 + cos θ 2 + se n 2 θ

Agora na real já está pronto. Falta só arrumar, mas não é de palhaçada não. Arrumar algebricamente esse tipo de coisa (i.e. limitações da superfície) é algo que vai te ajudar na hora de fazer alguma integral nos próximos capítulos. Arrumando:

0 z 1 + 2 cos θ + cos 2 θ + se n 2 θ

0 z 2 + 2 cos θ

0 z 2 1 + cos θ

E encerrou!

Resposta

ϕ θ , z = cos θ + 1 ,   sen θ , z

0 z 2 1 + cos θ

0 θ 2 π

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas