UFRJ, Lista de Parametrização, Questão 4
Parametrize a parte da superfície:
Limitada pelas superfícies:
Passo 1
Reescrevendo a equação da superfície, temos:
Completando o quadrado perfeito:
Ou seja, se trata de um cilindro de raio com centro no ponto .
Passo 2
Podemos parametrizar a superfície com coordenadas cilíndricas. Segue que:
Aplicando na equação do cilindro:
Portanto, o parâmetro sumiu. Até agora temos que a nossa parametrização é:
Ou seja, como é uma superfície precisamos necessariamente de dois parâmetros. Como um deles sumiu, inventamos um outro qualquer . Como se trata de um cilindro, podemos deixar o sendo o próprio parâmetro :
Logo:
E está parametrizado.
Passo 3
Agora podemos começar à pensar nos limites da superfície. A única coisa que falta agora é deixar os limites em função dos nossos parâmetros, e não das variáveis e
Sabemos que:
Logo, o tem limites:
Agora na real já está pronto. Falta só arrumar, mas não é de palhaçada não. Arrumar algebricamente esse tipo de coisa (i.e. limitações da superfície) é algo que vai te ajudar na hora de fazer alguma integral nos próximos capítulos. Arrumando:
E encerrou!