Exercícios Resolvidos de Caso Avançado

Ver Teoria

Enunciado

1) Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:

a) S : parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , que fica acima do plano z = 2 .

Passo 1

Sugiro sempre a você em casos de parametrização como esse, fazer um esboço da superfície que você está trabalhando. Nem precisa ser perfeito, pois é mais para te dar uma noção do que fazer mesmo.

No nosso caso, a parte da esfera acima de um plano paralelo ao plano x y é...

Passo 2

Bem, estamos trabalhando com um pedaço de esfera, então nada mais justo que utilizar uma parametrização “prima” das coordenadas esféricas:

x = R sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = R sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ

z = R cos ⁡ ϕ

Agora tome muito cuidado! Uma superfície, mesmo no espaço, tem duas dimensões, certo? Então ela precisa sempre de dois parâmetros para descrevê-la. No nosso caso, é só o ângulo ϕ e o θ , esse R desaparece virando o raio da esfera que estamos trabalhando...

R = 2

Logo a parametrização é...

x = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = 2 sin ⁡ �� sin ⁡ θ

z = 2 cos ⁡ ϕ

Ou, com uma anotação um pouco mais elegante do ponto de vista da matemática...

r → ϕ ,   θ = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ ,   2 cos ⁡ ϕ

Passo 3

Ok, agora nos falta a segunda parte do problema que é encontrar o domínio dos parâmetros: onde eles estão variando.

Bem, como a parametrização é prima das coordenadas esféricas, o ângulo θ gira no plano x y ao redor do eixo z :

Como pode ver na projeção da superfície no plano x y , precisamos de um θ dando uma volta completa:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 4

O ângulo ϕ varia do eixo z até a borda da superfície:

0 ≤ ϕ ≤ B o r d a

A borda da superfície é justamente, nesse caso, dado pelo limite imposto pelo plano:

0 ≤ ϕ ≤ P l a n o   z = 2

Substituindo o z pelo termo da parametrização...

2 cos ⁡ ϕ = 2         →         cos ⁡ ϕ = 2 2

Nesse caso o ϕ só pode ser 45 ° = π 4 ...

0 ≤ ϕ ≤ π 4

Resposta

r → ϕ ,   θ = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ ,   2 cos ⁡ ϕ

D :     0 ≤ θ ≤ 2 π

          0 ≤ ϕ ≤ π 4

Exercícios de Livros Relacionados

O que acontecerá com o tubo espiral do Exemplo 2 (veja a Figura 5 ) se substituirmos cos ⁡ u por sen ⁡ u e sen ⁡ u por cos ⁡ u ?O que acontecerá se substituirmos cos ⁡ u por cos ⁡ ...
Determine as equações paramétricas da superfície obtida pela rotação da curva y = e - x , 0 ≤ x ≤ 3 , em torno do eixo x e use-as para traçar o gráfico da superfície.
Desenhe a imagem de σ u , v = ( cos ⁡ v ,   s e n   v ,   u ) , com 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 2 π .
Seja σ u , v = ( x , y , z ) , com x = u cos ⁡ v , y = u   s e n   v e z = u .Mostre que a transformação σ transforma a reta u = u 1 ( u 1 ≠ 0 constante) numa circunferência. Desen...