Exercícios Resolvidos de Caso Avançado

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Enunciado

1) Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:

a) S : parte do plano x + y + z = 2 , no interior do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

Sugiro sempre a você em casos de parametrização como esse, fazer um esboço da superfície que você está trabalhando. Nem precisa ser perfeito, pois é mais para te dar uma noção do que fazer mesmo.

No nosso caso, a parte do plano:

Delimitado pelo cilindro de raio 1 ...

Passo 2

Bem, estamos trabalhando com um pedaço de plano dentro de um cilindro, então nada mais justo que utilizar uma parametrização “prima” das coordenadas cilindricas:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Agora tome muito cuidado! Uma superfície, mesmo no espaço, tem duas dimensões, certo? Então ela precisa sempre de dois parâmetros para descrevê-la. No nosso caso, é só o ângulo r e o θ .

O x e o y já estão descritos, mas inda falta o z . A nossa sorte é que a superfície é um pedaço de plano:

x + y + z = 2   →

z = 2 - x - y

Trocando esse x e y ...

z = 2 - r cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ

Logo a parametrização, com uma anotação um pouco mais elegante do ponto de vista da matemática, é...

r → r ,   θ = r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ,   2 - r cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ

Passo 3

Ok, agora nos falta a segunda parte do problema que é encontrar o domínio dos parâmetros: onde eles estão variando.

Bem, como a parametrização é prima das coordenadas cilíndricas o ângulo θ gira no plano x y ao redor do eixo z :

Como pode ver na projeção da superfície no plano x y , precisamos de um θ dando uma volta completa:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 4

Enquanto isso, podemos ver na mesma projeção:

Que o r varia de 0 até a borda máxima que é o raio do próprio cilindro delimitador de raio igual a... 1 :

0 ≤ r ≤ 1

Resposta

r → r ,   θ = r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ,   2 - r cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ

D :     0 ≤ θ ≤ 2 π

          0 ≤ r ≤ 1

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