Exercícios Resolvidos de Caso Avançado

UFRJ, Lista de Exercícios de Parametrização, Questão 5

Parametrize a porção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 12 que não se encontra no interior do paraboloide z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Primeiramente, sabemos que a parametrização de uma esfera é melhor em coordenadas esféricas, então já podemos atacar com a seguinte parametrização:

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

Onde r 2 = 12 . Seguindo, temos:

σ θ , ϕ = x θ , ϕ ,     y θ , ϕ ,     z θ , ϕ

σ θ , ϕ = r cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ ,     r sen ⁡ ( θ ) sen ⁡ ϕ ,     r cos ⁡ ϕ

Substituindo r :

r 2 = 12 → r = 2 3

σ θ , ϕ = 2 3 cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ ,     2 3 sen ⁡ ( θ ) sen ⁡ ϕ ,     2 3 cos ⁡ ϕ

Podemos seguir com a limitação da esfera, que é estar fora do paraboloide.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Um ponto x ,   y ,   z está fora do paraboloide z = x 2 + y 2 se ele respeita a inequação:

z < x 2 + y 2

Como podemos averiguar pelo gráfico:

Portanto, arrumando malandramente, somamos z 2 em ambos lados:

z 2 + z < x 2 + y 2 + z 2 = 12

z 2 + z ≤ 12

z 2 + z - 12 ≤ 0

As raízes são:

z = - 1 ± 1 + 48 2

z = - 1 ± 7 2 → z = 3         o u         z = - 4

Mas como temos um paraboloide z deve ser sempre positivo, então eles se encontram em z = 3 E assim:

z ≤ 3

12 cos ⁡ ϕ ≤ 3

cos ⁡ ϕ ≤ 3 2 3

cos ⁡ ϕ ≤ 3 2

ϕ ≥ π 6

De resto o ϕ , por sua definição, pode ir até π , então:

π 6 ≤ ϕ ≤ π

O θ não tem restrições, com exceção daquela convencionada pela trigonometria:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Resposta

σ θ , ϕ = 2 3 cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ ,     2 3 sen ⁡ ( θ ) sen ⁡ ϕ ,     2 3 cos ⁡ ϕ

ϕ ∈ π 6 , π

θ ∈ 0,2 π

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