Exercícios Resolvidos de Caso Avançado

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 5, Questão 1e

1) Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:

e) S :   superfície de revolução obtida girando o segmento de reta A B , A = 4 ,   1 ,   0 , B = 2 ,   4 ,   0 , em torno do eixo x .

Passo 1

Sugiro sempre a você em casos de parametrização como esse, fazer um esboço da superfície que você está trabalhando. Nem precisa ser perfeito, pois é mais para te dar uma noção do que fazer mesmo.

No nosso caso, o que devemos fazer é pegar esses dois pontos unidos por um segmento...

E girá-lo ao redor de x ...

Formando ao pedaço de cone!

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Passo 2

Uma superfície como essa, foi gerada com uma revolução, logo a parametrização que devemos utilizar é a parametrização que chamamos de parametrização de superfícies de revolução. Bem sugestivo, neh? kkkkkk

Para essa superfície, como você já sabe, primeiro parametrizamos a curva que deu origem, no caso, a reta. Parametrização de reta, sempre tem essa cara:

x = a + m 1 t

y = b + m 2 t

z = c + m 3 t

Onde a ,   b ,   c é um ponto qualquer da reta, por exemplo, o ponto A . do enunciado..

a ,   b , c = 4 ,   1 ,   0

x = 4 + m 1 t

y = 1 + m 2 t

z = m 3 t

E o vetor m 1 ,   m 2 ,   m 3 é o vetor de direção dessa reta, dado pelo ponto inicial menos o final:

m 1 ,   m 2 ,   m 3 = B - A  

m 1 ,   m 2 ,   m 3 = 2 ,   4 ,   0 - 4 ,   1 ,   0 =

- 2 ,   3 ,   0

Então a parametrização da reta é:

x = 4 - 2 t

y = 1 + 3 t

z = 0

Logo a parametrização da curva é no plano z = 0 ...

r t ,     = 4 - 2 t ,   1 + 3 t ,    

Repare que ficaram uns vácuos ali! Isso porque a uma curva precisa de uma única variável e a superfície de duas, bora encontrar a segunda?

Passo 3

Bem, o segundo parâmetro é o ângulo θ que chamamos de fator de giro. Como no caso estamos girando ao redor de x , ou seja, no plano z y ...

Devemos colocar uma correção com um cosseno e um seno em z e y . O cosseno, se quisermos o ângulo saindo do eixo z no sentido anti-horário como no desenho acima, deve ser necessariamente o z e o y o seno:

z = cos θ

y = sin θ

Então a parametrização fica...

r t ,     = 4 - 2 t ,   1 + 3 t ,                                 r t ,   θ = 4 - 2 t ,   1 + 3 t sin θ , cos θ          

Como tem um termo na frente do seno, tem que ter na frente do cosseno também:

r t ,   θ = 4 - 2 t ,   1 + 3 t sin θ , 1 + 3 t cos θ

Eis a parametrização!

Passo 4

Ok, agora nos falta a segunda parte do problema que é encontrar o domínio dos parâmetros: onde eles estão variando.

Bem, O ângulo θ gira no plano y z ao redor do eixo x :

Como pode ver na projeção da superfície no plano x y , precisamos de um θ dando uma volta completa:

0 θ 2 π

Passo 5

Enquanto isso, o t é dado por...

x = 4 - 2 t

E movemos do ponto A ao B ...

A = 4 ,   1 ,   0       B = 2 ,   4 ,   0

x = 4             x = 2

Então, quando x é 4 ...

4 - 2 t = 4                 - 2 t = 0           t = 0

E quando x = 2 ...

4 - 2 t = 2               - 2 t = - 2                   t = 1

Então o t varia de...

0 t 1

Resposta

r t ,   θ = 4 - 2 t ,   1 + 3 t sin θ , 1 + 3 t cos θ

D :     0 θ 2 π

          0 t 1

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