Exercícios Resolvidos de Caso Avançado

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Enunciado

Seja S a parte do paraboloide z = x 2 + y 2 limitada pelo plano z = 2 y + 8 . Uma parametrização da superfície é:

a) x = u cos ⁡ v ,   y = u   s e n   v ,   z = 10 + 2 u   s e n   v   c o m   u ∈ 0,3 e   v ∈ 0 , π .

b) x = u cos ⁡ v ,   y = u   s e n   v ,   z = u 2   c o m   u ∈ 0,2   s e n   v   e   v ∈ 0 , π .

c) x = u cos ⁡ v ,   y = 1 + u   s e n   v ,   z = u 2 + 1 + 2 u   s e n   v   c o m   u ∈ 0,3 e   v ∈ 0,2 π .

d)   x = cos ⁡ v ,   y = s e n   v ,   z = u   c o m   u ∈ 0,2   s e n   v + 8   e   v ∈ 0,2 π .

e) x = u cos ⁡ v ,   y = u   s e n   v ,   z = u 2   c o m   u ∈ 0,2   s e n   v + 8 e   v ∈ 0 , π .

Passo 1

Queremos parametrizar o paraboloide né? Ele tem essa equação:

z = x 2 + y 2

Como ela tá escrita como uma função de x e y explícita:

z = f x , y = x y

A gente pode parametrizar ela assim:

φ x , y = x , y , f x , y

φ x , y = x , y , x 2 + y 2

Mas isso não está nenhum pouco parecido com as alternativas né? E ainda falta achar o domínio. Então vamos continuar!

Passo 2

Vamos fazer um gráfico do que está acontecendo e achar esse domínio:

Nosso paraboloide na real só vai até a curva azulzinha (a interseção com o plano). Se a gente achar a projeção dessa curva em x y , a gente acha a região em que nosso paraboloide está dentro, né?

Para achar essa projeção em x y , é só a gente igualar os valores de z das duas superfícies que a gente tem:

z = x 2 + y 2 ,     z = 2 y + 8

x 2 + y 2 = 2 y + 8 ∴ x 2 + y 2 - 2 y = 8

Completando quadrados, achamos:

x 2 + y - 1 2 - 1 = 8 ∴ x 2 + y - 1 2 = 9

Isso é uma circunferência de raio 3 e com centro em 0,1 . Já que nossa superfície está dentro dela, podemos escrever que:

x 2 + y - 1 2 ≤ 9

Esse vai ser nosso domínio.

Passo 3

Agora repara que nosso domínio é um círculo, nada mais justo do que reescrever ele em coordenadas polares, né?

Vamos desenhar o gráfico desse cara:

Como o nosso centro do domínio não está na origem mas em 0,1 , vamos usar as coordenadas polares descolocadas para esse centro, somando 1 na coordenada y convencional, assim:

x = u cos ⁡ v ,     y = 1 + u   s e n   v

E como se os nossos eixos de x e y fossem deslocados, e a origem deles ficassem no centro do círculo. Quando isso acontece, v dá a volta completa em torno da origem para passar pelo círculo todo.

0 ≤ v ≤ 2 π

Vamos substituir as expressões das mudanças polares na nossa inequação do domínio para limitar r :

x = u cos ⁡ v ,     y = 1 + u   s e n   v

x 2 + y - 1 2 ≤ 9

u 2 cos 2 ⁡ v + 1 + u   s e n   v - 1 2 ≤ 9

u 2 cos 2 ⁡ v + u 2 s e n 2 v ≤ 9

u 2 cos 2 ⁡ v + s e n 2 v ≤ 9

u 2 ≤ 9

Daí a gente pode tirar que:

0 ≤ u ≤ 3

Passo 4

Vamos substituir essa mudança de coordenadas na nossa parametrização lá do começo:

x = u cos ⁡ v ,     y = 1 + u   s e n   v

φ x , y = x , y , x 2 + y 2

φ u , v = u cos ⁡ v , 1 + u   s e n   v , ( u 2 cos 2 ⁡ v + 1 + u   s e n   v 2

φ u , v = u cos ⁡ v , 1 + u   s e n   v , ( u 2 cos 2 ⁡ v + 1 + 2 u   s e n   v + u 2   s e n 2 v )

φ u , v = u cos ⁡ v , 1 + u   s e n   v , u 2 + 1 + 2 u   s e n   v

E a gente tem isso na letrinha c, junto com o domínio que a gente tinha achado:

0 ≤ v ≤ 2 π

0 ≤ u ≤ 3

Então essa é a nossa parametrização!

Resposta

Letra c

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