Exercícios Resolvidos de Caso Avançado

UFRJ, Cálculo 3, P2 - 2012.1, Questão 1

Seja C a curva contida no plano cartesiano x y cujos pontos satisfazem x 2 / 3 + y 2 / 3 = a 2 / 3 , x 0 , y 0 .

Parametrize a superfície S gerada pela rotação da curva C em torno do eixo O Y .

Passo 1

Como se trata de uma superfície de revolução, primeiro vamos direto na fórmula. Com um detalhe importante: normalmente trabalhamos com uma rotação em torno de z , e neste caso estamos girando a curva em torno de y , portanto a fórmula é um pouco diferente.

Dadas parametrizações x = x ( t ) e y = y ( t ) , a curva gerada pela revolução em torno de O Y tem parametrização ϕ t , θ = x t cos θ , y t , x t  sen θ , com 0 θ 2 π .

Parametrizemos, então. Vamos olhar a cara da função:

x 2 / 3 + y 2 / 3 = a 2 / 3

Não lembra um pouco o formato da equação trigonométrica? Então beleza, vamos arrumar a equação para testar esse palpite:

x a 2 / 3 + y a 2 / 3 = 1

Passando a raiz cúbica pra dentro:

x a 1 3 2 + y a 1 3 2 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora sim, podemos comparar com a trigonométrica:

cos 2 ( t ) + sen 2 ( t ) = 1

Dessa expressão, obtemos:

x a 1 3 = cos t x = a cos 3 t

y a 1 3 = sen ( t ) y = a sen 3 ( t )

Mas como varia o parâmetro t ? Se a gente observar bem a equação da curva, dá pra notar que x 0 , a e y [ 0 , a ] . Isso porque cos 3 t e sen 3 ( t ) tem 1 como valor máximo! Então multiplicando eles por a teremos um valor máximo de a haha.

Nesse caso, pra variável x , por exemplo, para x = 0 :

x = 0

0 = a cos 3 t  

cos 3 t = 0

cos t = 0

t = π 2

Para x = a :

x = a

a = a cos 3 t

cos 3 t = 1

cos t = 1

t = 0

Pra variável y a gente teria para y = 0 :

y = 0

0 = a sen 3 ( t )

sen 3 ( t ) = 0

sen t = 0

t = 0

Para y = a :

y = a

a = a sen 3 ( t )

sen 3 ( t ) = 1

sen t = 1

t = π 2

Finalmente a gente descobriu como t varia:

t 0 , π 2 .

Aplicando a fórmula, temos:

ϕ θ , t = a cos 3 t cos θ , a   sen 3 ( t ) , a cos 3 t sen θ

E acabou!

Resposta

ϕ θ , t = a cos 3 t cos θ , a   sen 3 t , a cos 3 t sen θ

t 0 , π 2 ,     θ 0,2 π

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