Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – volume 3, 5ª edição, Rio de Janeiro: LTC, 2001, pp. 154-1.

Calcule

γ x 3 d x + d y 1 + y 2

Onde γ é a curva:

Passo 1

Primeiramente, vemos que nossa integral está escrita na forma:

γ   F 1 d x + F 2 d y

Então:

F = x 3 , 1 1 + y 2

E nossa curva γ pode ser dividida em quatro partes de forma que γ = C 1 C 2   C 3 C 4 . Então vamos começar dando nome aos bois:

Cada uma dessas curvas são retas. Então vamos ter algo do tipo:

γ   F . d r = C 1 F . d r + C 2 F . d r + C 3 F . d r + C 4 F . d r

As curvas são bem parecidas e tal, mas vamos calcular uma por uma pra ter certeza e não confundir nada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando por C 1 , lembramos que a fórmula que vamos usar é:

C 1 F . d r =   a b F x t ,   y t . σ ' t   d t

Passo 3

A parametrização dela vai ser:

σ t = 1 , t ,     - 1 t 1

Passo 4

então é só calcular o vetor tangente:

σ ' t = d 1 d t ,   d t d t = ( 0 ,   1 )

Passo 5

E jogar na fórmula, pra fazermos o produto escalar:

- 1 1 1 3 , 1 1 + t 2 . 0,1   d t = - 1 1 0 + 1 1 + t 2 d t =   - 1 1 1 1 + t 2 d t  

É uma integral meio complicada, mas pra quem não lembra:

- 1 1 1 1 + t 2 d t = arctan t - 1 1 = π 4 - - π 4 = 2 π 4 = π 2

Passo 6

Agora repetimos o método para C 2 :

C 2 F . d r =   a b F x t ,   y t . σ ' t   d t

σ t = - t , 1 ,     - 1 t 1

Vamos ver como fica o vetor tangente:

σ ' t = d - t d t ,   d 1 d t = ( - 1 ,   0 )

Bem parecido com o outro, mas olha como a integral fica diferente:

- 1 1 - t 3 , 1 1 + 1 2 . - 1,0   d t = - 1 1 t 3 + 0 d t = - 1 1 t 1 3 d t

Essa é mais fácil, pelo menos:

- 1 1 t 1 3 d t = 3 4 t 4 3 - 1 1 = 3 4 1 - 1 = 0

Passo 7

E mais uma vez, aplicamos a fórmula pra C 3 : C 3 F . d r =   a b F x t ,   y t . σ ' t   d t

σ t = - 1 , - t ,     - 1 t 1

E o vetor tangente:

σ ' t = d - 1 d t ,   d - t d t = ( 0 , - 1 )

Jogando na integral:

- 1 1 - 1 3 , 1 1 + - t 2 . 0 , - 1   d t = - 1 1 0 + - 1 1 + t 2 d t =   - - 1 1 1 1 + t 2 d t

Opa, ja vi isso antes, né? Haha

- - 1 1 1 1 + t 2 d t = - arctan t - 1 1 = - π 4 - - π 4 = - π 2  

Passo 8

E, por último, finalmente, C 4 :

C 4 F . d r =   a b F x t ,   y t . σ ' t   d t

σ t = t , - 1 ,     - 1 t 1

O que vem agora, adivinha? Isso, vetor tangente:

σ ' t = d t d t ,   d - 1 d t = ( 1 ,   0 )

E a integral:

- 1 1 t 3 , 1 1 + - 1 2 . 1,0   d t = - 1 1 t 3 + 0 d t = - 1 1 t 1 3 d t

Que, como já vimos:

- 1 1 t 1 3 d t = 3 4 t 4 3 - 1 1 = 3 4 1 - 1 = 0

Passo 9

Pra terminar, só somar tudo:

C 1 F . d r + C 2 F . d r + C 3 F . d r + C 4 F . d r =   π 2 + 0 - π 2 + 0 = 0

Achou estranho? Bem, mas é isso mesmo, pode confiar!

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